Hans Walser, [20100715a]

Dreiecksunterteilung

Anregung: I. L., B.

1        Worum geht es?

Wir unterteilen die drei Seiten eines Dreieckes in den VerhŠltnissen  und , zeichnen die sechs zugehšrigen Ecktransversalen und untersuchen die dadurch entstehenden Teilgebiete des Dreieckes.

 

Unterteilung

 

2        Affine Invarianz

FŸr Fragen der Inzidenz (KollinearitŠt dreier Punkte und KopunktalitŠt dreier Geraden) sowie TeilverhŠltnisse auf einer Geraden und FlŠchenanteile von Polygonen kšnnen wir ausnŸtzen, dass jedes Dreieck affin regulŠr ist, das hei§t durch eine affine Abbildung auf ein regelmŠ§iges Dreieck abgebildet werden kann. Wir kšnnen also die entsprechenden Fragen beim regelmŠ§igen Dreieck untersuchen.

 

RegulŠrer Fall

 

3        Baryzentrische Koordinaten

Wir arbeiten im Folgenden mit baryzentrischen Koordinaten mit der Festlegung ,  und  fŸr die Dreiecksecken. Damit erhalten wir:

 

Baryzentrische Koordinaten, unnormiert

 

Blaue Koordinaten beziehen sich auf Punkte, rote Koordinaten auf Geraden. Die Koordinaten sind noch nicht normiert.

Wir kšnnen aber schon mal zeigen, dass die sechs Punkte  , , , ,  und  jeweils auf Seitenhalbierenden liegen. Es ist zum Beispiel:

  und   

 

 

 

Daher sind die Punkte , ,  kollinear und ebenso die Punkte  , ,  (vgl. [Kennedy 1993]). Dies folgt wegen der affinen Invarianz auch direkt aus dem regulŠren Fall.

4        Normierung

Um LŠngenverhŠltnisse auf einer Geraden zu berechnen, benštigen wir normierte baryzentrische Koordinaten. Wir normieren wie folgt:

 

 

Wenn wir die normierten baryzentrischen Koordinaten als kartesische 3d-Koordinaten interpretieren, erhalten wir folgende Situation:

 

Darstellung im Raum

 

Die Figur liegt in der Ebne . Es wird automatisch der Fall des regulŠren Dreiecks dargestellt.

5        LŠngenverhŠltnisse

Aus SymmetriegrŸnden (in der Darstellung des regulŠren Dreiecks) sind die LŠngenverhŠltnisse auf vielen Geraden gleich. Wir haben im Prinzip nur drei Geradentypen: Dreiecksseiten, Seitenhalbierende, Ecktransversalen

5.1      Dreiecksseiten

Wir bearbeiten die Dreiecksseite .

 

Dreiecksseite

 

Damit erhalten wir aber nur die Daten der Aufgabe.

5.2      Seitenhalbierende

Wir bearbeiten die Seitenhalbierende .

 

Seitenhalbierende

 

Wir sehen anhand der jeweiligen dritten Koordinaten (welche aufwŠrts von 0 bis 1 lŠuft), dass der untere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem relativen Niveau , der Schwerpunkt auf dem relativen Niveau  und der obere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem relativen Niveau  liegt. FŸr den Niveau-Unterschied der beiden Ecktransversalen-Schnittpunkte ergibt sich:

 

Das kann auch so formuliert werden: Die Summe der LŠngen der der Mittelpunktsdiagonalen des gelb markierten Sechseckes ist gleich  mal die Summe der SeitenhalbierendenlŠngen.

 

Sechseck in der Mitte

 

Zahlenbeispiele:

FŸr , , das hei§t beim Dritteln der Dreiecksseiten ist der untere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau  und der obere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau  (also auf der Mittelparallel des Dreiecks). Niveau-Unterschied .

FŸr , , das hei§t beim Vierteln der Dreiecksseiten ist der untere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau  und der obere Ecktransversalen-Schnittpunkt auf dem Niveau . Niveau-Unterschied .

5.3      Ecktransversalen

Wir bearbeiten die Ecktransversale .

 

Ecktransversale

 

FŸr die Punkte haben wir von unten nach oben die relativen Niveaus (dritte Koordinate):

 

FŸr die auf dieser Ecktransversalen liegende Seite des oben gelb markierten erhalten wir die Niveaudifferenz:

 

Somit ist der Umfang dieses Sechseckes gleich  mal die Summe der LŠngen aller sechs Ecktransversalen.

Der Faktor  ist halb so gro§ wie der Faktor , den wir bei den LŠngen der Mittelpunktsdiagonalen angetroffen haben. Es ist aber zu beachten, dass diese Faktoren sich auf unterschiedlich lange Strecken beziehen.

6        FlŠchenanteile

Wenn wir den FlŠcheninhalt des Basisdreieckes auf 1 normieren, kann der FlŠchenanteil eines Dreiecks DEF mit den normierten baryzentrischen Eckpunktskoordinaten , ,  mit der Determinante

 

 

 

berechnet werden. Um das einzusehen, denken wir uns in der Darstellung im Raum eine Pyramide Ÿber dem Dreieck DEF mit der Spitze im Ursprung des rŠumlichen Koordinatensystems. Da alle solche Pyramiden, einschlie§lich der Pyramide Ÿber dem Basisdreieck, dieselbe Hšhe haben, entsprechen die VolumenverhŠltnisse den GrundflŠchenverhŠltnissen.

Im regulŠren Dreieck sehen wir, dass jeder FlŠchenanteil sechs Mal erscheint.

 

FlŠchenunterteilung

 

6.1      Gelbes Dreieck

Das gelbe Dreieck rechts unten hat die Eckpunktskoordinaten ,  und . FŸr seinen FlŠchenanteil erhalten wir:

 

 

 

 

 

 

6.2      †bersicht

Analog kšnnen wir die Ÿbrigen FlŠchenanteile berechnen. Wir erhalten:

Gelbes Dreieck

Rotes Dreieck

GrŸnes Dreieck

Hellblaues Viereck

Violettes Dreieck

Summe

6.3      Beispiele

6.3.1    Rationale TeilverhŠltnisse

Farbe \ p und q

Stichwort

Dritteln

Vierteln

FŸnfteln 1

FŸnfteln 2

Siebteln 2

Gelbes Dreieck

Rotes Dreieck

GrŸnes Dreieck

Hellblaues Viereck

Violettes Dreieck

Summe

 

Bei (FŸnfteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Drittel der DreiecksflŠche.

 

Ein Drittel ist gelb

 

Bei (Siebteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Sechstel der DreiecksflŠche.

 

Ein Sechstel ist gelb

 

6.3.2    Goldener Schnitt und DIN-Format

Farbe \ p und q

Stichwort

Goldener Schnitt

DIN-Format

Gelbes Dreieck

Rotes Dreieck

GrŸnes Dreieck

Hellblaues Viereck

Violettes Dreieck

Summe

6.3.3    Weitere irrationale TeilverhŠltnisse

Wir wollen erreichen, dass das gelbe zentrale Sechseck einen vorgegebenen FlŠchenanteil des Dreiecks hat, zum Beispiel die HŠlfte. Mit der Normierung  erhalten wir dafŸr die Bedingung:

 

Farbe \ p und q

Sechsecksgrš§e

Halbes Dreieck

Gelbes Dreieck

Rotes Dreieck

GrŸnes Dreieck

Hellblaues Viereck

Violettes Dreieck

Summe

 

Im folgenden Beispiel soll das gelbe zentrale Sechseck einen Viertel der DreiecksflŠche ausmachen.

Farbe \ p und q

Sechsecksgrš§e

Viertel des Dreieckes

Gelbes Dreieck

Rotes Dreieck

GrŸnes Dreieck

Hellblaues Viereck

Violettes Dreieck

Summe

Literatur

[Kennedy 1993]         Kennedy, Joe: (Responds to) MarionÕs Theorem. Math. Teacher 86, 1993, p. 619