Hans Walser, [20190107]

Dreiecksraster

1   Worum geht es?

Figuren im Dreiecksraster, vgl. (Walser 2011, S. 46).

2   RegulŠres Dreiecks-Punktraster

Die Abbildung 1 zeigt ein regulŠres Dreiecks-Punktraster (Ausschnitt).

Abb. 1: Dreiecks-Punktraster

3   Ganzzahlige Dreiecke

Im Raster gibt es ganzzahlige Dreiecke. Das gelbe Dreieck der Abbildung 2 hat die Seiten

 

                                                                                                       (1)

 

 

und den Winkel:

 

                                                                                                                       (2)

 

 

Abb. 2: Ganzzahliges Dreieck

Die SeitenlŠngen a und b sind unmittelbar einsichtig, ebenso der Winkel . Zur Berechnung von c benštigen wir den Kosinussatz:

 

                                                                                       (3)

 

 

In Beispiel des gelben Dreiecks hei§t das:

 

                                                                     (4)

 

 

 

Unser Beispiel ist eine Verallgemeinerung des Begriffs pythagoreisches Dreieck. Es gibt unendliche viele solche ganzzahlige Dreiecke im Dreiecksraster.

4   †berlagerung

Im Raster der Abbildung 3 ist eine Strecke der LŠnge 7 eingetragen.

Abb. 3: Strecke der LŠnge 7

Wir drehen nun dieses Raster mitsamt der Strecke, bis diese mit der langen Seite des gelben Dreiecks der Abbildung 2 źbereinstimmt. Der Drehwinkel ergibt sich aus dem Sinussatz:

 

                                                                                   (5)

 

 

Die Abbildung 4 zeigt die Situation. Die ăKathetenŇ a und b orientieren sich am blauen Punktraster, die ăHypotenuseŇ c orientiert sich am roten Punktraster.

Abb. 4: †berlagerung mit Dreieck

Die Abbildung 5 zeigt die beiden Raster ohne das konstituierende Dreieck. Es gibt Punkte (die violetten), welche zu beiden Rastern gehšren. Diese violetten Punkte bilden ihrerseits ein regulŠres Dreiecksraster. Es hat die Maschenweite . Diese  violetten Punkte sind die Zentren der ăBlźmchenŇ mit blauen und roten BlźtenblŠttern. Einer dieser violetten Punkte ist der Inkreismittelpunkt des gelben Dreiecks der Abbildung 4.

Abb. 5: †berlagerung

5   Iteration

Die Abbildung 6 zeigt eine Figur analog zur Abbildung 5, aber in den Farben orange und zyan. In grźn erscheint der †berlagerungsraster.

Abb. 6: Dasselbe in grźn

Nun źberlagern wir das violette Raster und das grźne Raster, nehmen aber die ursprźnglichen Raster (blau, rot, orange und zyan) mit. Es entsteht die Figur der Abbildung 7. Das rote und das orange Raster kommen vollstŠndig zur Deckung.

Abb. 7: †berlagerung der †berlagerungen

Es wird ein weiteres Dreiecksraster sichtbar (dunkelgrźn), nun mit der Maschenweite 7. Dies kann im rot-orangen Raster nachgezŠhlt werden.

6   Kreise

In der Abbildung 8 sind die BlźtenblŠtter der Blźmchen der Abbildung 5 in Kreise eingebettet. Diese Kreise bilden ein Dreiecksraster. Die Maschenweite des Rasters ist das  der Kreisradien.

 

Abb. 8: Kreise durch die BlźtenblŠtter

Die Abbildung 9 zeigt nur noch die Kreise.

Abb. 9: Nur Kreise

In der Abbildung 10 wird ein zweiter entsprechender Kreisraster gemŠ§ dem Verfahren der Abbildung 7 źberlagert.

Abb. 10: †berlagerung

Es entsteht wie erwartet ein neuer Dreiecksraster. Die źbrigen Dreiecke schneiden oder berźhren sich.

In der Abbildung 11 wird das Berźhren schŠrfer dargestellt.

Abb. 11: Berźhrende Kreise

7   Ausblick

Analoge Spielereien kšnnen natźrlich auch mit gewšhnlichen pythagoreischen Dreiecken im Quadratraster gemacht werden (Walser 2011, S. 43)

 

Literatur

Walser, Hans (2011): Geometrische Miniaturen. Figuren – Muster – Symmetrien. Leipzig. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-42-4.