Hans Walser, [20080507a]
Dreiecksketten
Wir zeichnen eine Kette
von Dreiecken gemЧ Figur. In der Figur ist . Es entsteht ein gleichseitiger Polygonzug. Wie lŠsst sich
das Verhalten dieses Polygonszuges beschreiben?
Der Verhalten des
Polygonszuges hŠngt wesentlich vom Winkel ab. FŸr spitze
Winkel
ergibt sich eine
(regelmЧige) Grenzfigur, fŸr einen rechten Winkel
erhalten wir
eine archimedische Spirale und fŸr stumpfe Winkel
eine
logarithmische Spirale.
FŸr spitze Winkel tendiert der
Polygonzug gegen ein gleichseitiges Sehnenvieleck mit Zentriwinkeln
. Falls
eine Teiler von
360¡ ist, ergibt sich ein regelmЧiges Polygon mit Innenwinkel
als Grenzfigur.
Wenn
in einem
rationalen VerhŠltnis zu 360¡ steht, aber kein Teiler von 360¡ ist, erhalten
wir als Grenzfigur einen Stern, der sich aus Diagonalen gleicher LŠnge eines
regelmЧigen Vieleckes zusammensetzt. An den Sternspitzen haben wir ebenfalls
Innenwinkel
. Bei irrationalem VerhŠltnis zu 360¡ ergibt sich ein Ÿberall
dicht belegter Kreisring.
Im Folgenden einige Beispiele
mit jeweils .
FŸr oder
ergeben sich als
Grenzfigur ein regelmЧiges Dreieck beziehungsweise ein Quadrat.
FŸr erhalten wir als
Grenzfigur ein regelmЧiges FŸnfeck, fŸr
auf Anhieb das
regelmЧige Sechseck.
FŸr und
ergeben sich
Achteck und Neuneck.
FŸr ist
; wir erhalten als Grenzfigur ein Pentagramm, das aus einem
regelmЧigen FŸnfeck durch †berspringen jeder zweiten Ecke entsteht. FŸr
ist
; wir erhalten eine Grenzfigur, welche aus einem regelmЧigen
Neuneck durch †berspringen jeder zweiten Ecke entsteht.
Wir wŠhlen nun im Bogenma§,
also
. Dieser Winkel steht nicht in einem rationalen VerhŠltnis zu
360¡. In der folgenden Abbildung sind der Reihe nach 10, 100 und 1000 Dreiecke
gezeichnet.
Beweisskizze: Falls
einer der grŸnen Radien die LŠnge hŠtte, dann auch
alle folgenden Radien. Wir hŠtten eine Folge von gleichschenkligen Dreiecken
mit der Basis
und den Basiswinkeln
. Dies wŠre der stabile Fall. Dieser stabile Fall tritt exakt
ein fŸr
oder fŸr
. (Gibt es
weitere stabile FŠlle?)
Wenn nun zum Beispiel ist, dann haben
wir im Vergleich zum stabilen Fall die Situation der Skizze:
Auf Grund der
Dreiecksungleichung ist
Die folge der Radien
ist monoton fallend. Es ist sogar . FŸr
erhalten wir
entsprechend eine monoton wachsende Folge von Radien.
Somit ist ; die Figur strebt gegen den stabilen Fall.
FŸr entsteht eine
Figur mit aufgesetzten rechtwinkligen Dreiecken. Bei
erhalten wir fŸr
die Radien die Werte
. Der Polygonzug tendiert gegen eine archimedische Spirale (vgl. [Walser 2004]).
FŸr erhalten wir
einen Polygonzug, der eine logarithmische Spirale als Grenzkurve hat. Dies ist nicht trivial, da die Dreiecke ja nicht
Šhnlich sind; wir haben keine Schneckenhaus-Situation.
Die Figurenfolge zeigt
die Situation fŸr und
; es sind 10, 100 und 1000 Dreiecke gezeichnet.
Zum Beweis verwenden
wir die Bezeichnungen der Figur:
Da konstant ist,
wŠchst der Radius r nach au§en, und der
Winkel
geht gegen null.
ãWeit au§enÒ sind also die Radien nahezu parallel, und es gilt:
Daraus erhalten wir:
Wir arbeiten nun
differenziell weiter:
Dies ist die
Polargleichung einer logarithmischen Spirale.
Literatur
[Walser 2004] Walser, Hans: Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation von ¹. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 287-288