Hans Walser, [20190302]

Dreiecksaufwicklung

1     Worum geht es?

Spiel mit einem Gelenkmodell. FŸhrt zu einer einfach berechenbaren Situation, die aber mit Zirkel und Lineal nicht lšsbar ist.

2     Das Gelenkmodell

Wir denken uns ein Gelenkmodell mit drei gleich langen StŠben und jeweils gleichen Gelenkwinkeln (Abb. 1). Wir arbeiten dabei mit den Au§enwinkeln.

Abb. 1: Gelenkmodell

3     Aufwickeln zum Dreieck

Wir legen den ersten Stab horizontal hin und vergrš§ern den Au§enwinkel, bei 0¡ beginnend, bis sich das Gelenkmodell zum gleichseitigen Dreieck schlie§t. Dies ist beim Au§enwinkel 120¡ der Fall (Abb. 2).

Abb. 2: Schlie§en zum gleichseitigen Dreieck

4     Bahnkurven der Gelenke

Der Startpunkt und das erste Gelenk bleiben fest. Das zweite Gelenk bewegt sich auf einem Kreis (blau in Abb. 3). Der Endpunkt bewegt sich auf einer Kurve, die aus einer †berlagerung zweiter Kreisbewegungen besteht (grŸn in Abb. 3). Die Bahnkurven sind fŸr einen Parameterbereich (Au§enwinkel) von –180¡ bis 180¡ gezeichnet.

Abb. 3: Bahnkurven

5     Kollision an der Spitze

Wir sehen, dass der dritte Stab des Gelenkmodells bei der Bewegung zeitweise die Spitze des Dreiecks abschneidet.

In welcher Position touchiert der dritte Stab die Dreiecksspitze (Abb. 4a)? Wir suchen den zugehšrigen Au§enwinkel t.

Abb. 4: Kollision an der Spitze

Das in der Abbildung 4b hellblau eingezeichnete Dreieck ist gleichschenklig. Sein Basiswinkel ist 180¡ – t, sein Spitzenwinkel 180¡ – 60¡ – t. Aus der Winkelsumme 180¡ erhalten wir:

 

                                                                   (1)

 

 

 

 

Eine ganz einfache Rechnung mit einem schšnen Resultat. Nur: ein Winkel von 100¡ ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Wenn wir einen Winkel von 100¡ mit Zirkel und Lineal konstruieren kšnnten, kšnnen wir zunŠchst einen Winkel von 60¡ subtrahieren (mit Zirkel und Lineal machbar) und hŠtten einen Winkel von 40¡. Dies ist der Zentriwinkel des regelmŠ§igen Neunecks, das wir somit mit Zirkel und Lineal konstruieren kšnnten. Das widerspricht aber einem Satz von Gau§ Ÿber die Konstruierbarkeit regelmŠ§iger Vielecke.

Wir kšnnen also die Situation der Abbildung 4a nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Bei einem rechnerischen Zugang zu diesem Problem treffen wir auf kubische Gleichungen.

6     Quadrat und regelmŠ§iges FŸnfeck

Die Abbildung 5 zeigt die entsprechende Figur fŸr das Quadrat.

Abb. 5: Gelenkmodell mit vier Teilen

Die Kollision tritt bei einem Au§enwinkel von etwa 77.32658862¡ ein (Abb. 6).

Abb. 6: Kollision

Die Abbildung 7 zeigt die entsprechende Situation beim regelmŠ§igen FŸnfeck.

Abb. 7: Gelenkmodell mit fŸnf Teilen

Die Kollision tritt bei einem Au§enwinkel von etwa 63.165¡ ein (Abb. 8).

Abb. 8: Kollision