Hans Walser, [20180120]

Doppelter Pythagoras

1     Problem

Gesucht sind Zahlentripel  mit:

 

                                                                                                                    (1)

 

 

und:

 

                                                                                             (2)

 

 

In (1) erkennen wir den Pythagoras, in (2) seinen Šlteren Bruder.

2     Bearbeitung

Wir subtrahieren (1) von (2) und erhalten:

 

                                                                                                     (3)

 

 

Umformen ergibt:                                                                                                                

 

                                                                                                       (4)

 

 

 

Quadrieren liefert:

 

                                                                                                          (5)

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

                                                                                                             (6)

 

 

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel (Abb. 1).

Abb. 1: Lšsungsmenge

Wir sehen, dass es keine Lšsung mit positivem a und positivem b gibt. Trotzdem lohnt es sich, einige Lšsungen anzusehen.

3     AusgewŠhlte Lšsungen

3.1    Alte Bekannte

Fźr  liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a das Lehrerdreieck mit dem SeitenverhŠltnis  (gelb in Abb. 2).

Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreische Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis  (zyan in Abb. 2).

Abb. 2: Zwei pythagoreische Dreiecke

3.2    Weitere Bekannte

Fźr  liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem SeitenverhŠltnis  (gelb in Abb. 3).

Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis  (zyan in Abb. 3).

Abb. 3: Nochmals zwei pythagoreische Dreiecke

3.3    Noch ein Beispiel

Fźr  liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem SeitenverhŠltnis  (gelb in Abb. 4).

Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis  (zyan in Abb. 4).

Abb. 4: Pythagoreische Dreiecke

3.4    Allgemein

Die Beispiele sind nicht umwerfend. Sobald wir ein pythagoreisches Dreieck mit rationalen Seiten haben, ergibt die Addition von 1 wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seiten, also wieder ein pythagoreisches Dreieck.