Hans Walser, [20180120]
Doppelter Pythagoras
Gesucht sind Zahlentripel mit:
(1)
und:
(2)
In (1) erkennen wir den Pythagoras, in (2) seinen Šlteren Bruder.
Wir subtrahieren (1) von (2) und erhalten:
(3)
Umformen ergibt:
(4)
Quadrieren liefert:
(5)
Daraus ergibt sich:
(6)
Dies ist die Gleichung einer Hyperbel (Abb. 1).
Abb. 1: Lšsungsmenge
Wir sehen, dass es keine Lšsung mit positivem a und positivem b gibt. Trotzdem lohnt es sich, einige Lšsungen anzusehen.
Fźr liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a das Lehrerdreieck mit dem SeitenverhŠltnis (gelb in Abb. 2).
Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreische Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis (zyan in Abb. 2).
Abb. 2: Zwei pythagoreische Dreiecke
Fźr liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem SeitenverhŠltnis (gelb in Abb. 3).
Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis (zyan in Abb. 3).
Abb. 3: Nochmals zwei pythagoreische Dreiecke
Fźr liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem SeitenverhŠltnis (gelb in Abb. 4).
Weiter ist , und schlie§lich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis (zyan in Abb. 4).
Abb. 4: Pythagoreische Dreiecke
Die Beispiele sind nicht umwerfend. Sobald wir ein pythagoreisches Dreieck mit rationalen Seiten haben, ergibt die Addition von 1 wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seiten, also wieder ein pythagoreisches Dreieck.