Hans Walser, [20140809]

Doppelte Fibonacci-Spiralen

1     Worum geht es?

Es werden Variationen der klassischen Fibonacci-Spirale gezeigt.

2     Die klassische einfache Spirale

Die Abbildung 1 zeigt die źbliche einfache Fibonacci-Spirale. Es handelt sich um eine Packung mit Quadraten, deren SeitenlŠnge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... die Fibonacci-Zahlen sind.

 

Abb. 1: Klassisch

 

3     Versetzte Anordnung der Quadrate

In der Abbildung 2 sind die Quadrate versetzt angeordnet. Dadurch bleiben Lźcken offen, welche ihrerseits aus Quadraten mit den SeitenlŠngen der Fibonacci-Zahlen bestehen.

 

Abb. 2: Fibonacci-Lźcken

 

Der Umriss einer angefangenen Spirale ist jeweils ein Quadrat, und zwar genau das nŠchstfolgende Quadrat der Spirale (Abb. 3).

 

Abb. 3: Umriss

 

4     Dreiecke

Die Abbildung 4 zeigt eine analoge Konstruktion mit gleichseitigen Dreiecken.

 

Abb. 4: Dreiecke

 

Auch hier passt die angefangene Spirale in das nŠchstfolgende Dreieck (Abb. 5).

 

Abb. 5: Umriss

 

Die wei§en Lšcher sind bezźglich Grš§e und Anordnung kongruent zu den farbigen Dreiecken. Daher kann eine Doppelspirale gebaut werden (Abb. 6).

 

Abb. 6: Doppelspirale

 

5     Fraktalisierung

Die Figur der Abbildung 4 legt eine Art Fraktalisierung nahe (Abb. 7).

 

Abb. 7: Fraktalisierung

 

6     Der Goldene Schnitt

Die Figuren kšnnen auch ăvergoldetŇ werden, indem die Fibonacci-Zahlen durch die Zahlen einer geometrischen Folge mit dem Quotienten  des Goldenen Schnittes ersetzt werden. Die Abbildung 8 zeigt die Vergoldung der Abbildung 4. Von Auge ist kaum ein Unterschied feststellbar. Im Zentrum geht es aber ins unendlich kleine.

 

Abb. 8: Im Goldenen Schnitt

 

Die Abbildung 9 zeigt die Vergoldung der Abbildung 7.

 

Abb. 9: Fraktal im Goldenen Schnitt