Hans Walser, [20200123]

Dodekagramm und Triakontagramme

Anregung: K. H., Gš.

1   Worum geht es?

RŠumliche Analoga zum Hexagramm.

2   Das Hexagramm

Die Abbildung 1 zeigt das Hexagramm (Davidstern).

Abb. 1: Hexagramm

Das Hexagramm kann mit Hilfe eines Hexagons (regelmŠ§iges Sechseck) konstruiert werden, indem die sechs Kantenmitten zu zwei gleichseitigen Dreiecken verbunden werden (Abb. 2).

Abb. 2: Konstruktion

Dass wir mit den Kantenmitten statt mit den Eckpunkten des Hexagons arbeiten, hat mit den folgenden Verallgemeinerungen zu tun.

Das Hexagramm erscheint auch auf dem Grabmal des Mathematikers Carl Friedrich Gau§ (1777-1855) (oben Mitte in Abb. 3). Das Grabmal findet sich im Albani-Friedhof in Gšttingen.

Abb. 3: Grabmal von Gau§ (Foto K. H., Gš)

3   Das Dodekagramm

In einem WŸrfel wŠhlen wir drei paarweise windschiefe Kanten und verbinden deren Mittelpunkte zu einem Dreieck (Abb. 4). Ausgehend von einer bestimmten Kantenmitte gibt es zwei spiegelbildliche Lšsungen.

Abb. 4: Dreieck im WŸrfel

Im Folgenden wird mit der Version der Abbildung 4a gearbeitet.

Zu einem einmal gewŠhlten Dreieck gibt es drei weitere Dreiecke, da wir beim WŸrfel insgesamt zwšlf Kanten haben.

Die Abbildung 5 zeigt das entstehende Dodekagramm, nun ohne den WŸrfel. Es hat zwšlf Spitzen.

Abb. 5: Dodekagramm

Die vier Dreiecke sind ineinander verkettet.

Die Abbildung 6 zeigt eine spezielle Sicht. Das rote Dreieck erscheint unverzerrt.

Abb. 6: Spezielle Sicht

Die Abbildung 7 zeigt eine weitere spezielle Sicht. Es sind alle vier Dreiecke gleicherma§en verzerrt.

Abb. 7: Eine weitere spezielle Sicht

Die Abbildung 8 und 9 zeigen Kantenmodelle des Dodekagramms.

Abb. 8: Kantenmodell

Abb. 9: Dickes Kantenmodell

4   Triakontagramme

Nun versuchen wir dasselbe Spielchen mit dem Ikosaeder anstelle des WŸrfels.

In der Abbildung 10 wurden fŸnf paarweise windschiefe Kanten des Ikosaeders ausgewŠhlt. Jede weitere Ikosaederkante liegt in einer Ebene mit einer der ausgewŠhlten Kante. Die Mitten der ausgewŠhlten Kanten sind die Ecken eines regelmŠ§igen Pentagons (Abb. 10).

Abb. 10: Pentagon im Ikosaeder

Wir kšnnen insgesamt sechs solcher Pentagone einzeichnen (Abb. 11).

Abb. 11: Sechs Pentagone im Ikosaeder

Diese Pentagone haben insgesamt 30 Ecken, bilden also ein Triakontagramm (Abb. 12).

Abb. 12: Triakontagramm

Nun kšnnen wir aber ins Ikosaeder anstelle des Pentagons der Abbildung 10 auch ein Pentagramm einzeichnen (Abb. 13).

Abb. 13: Pentagramm im Ikosaeder

Auch dazu gibt es weitere fŸnf Mšglichkeiten (Abb. 14).

Abb. 14: Sechs Pentagramme

Die sechs Pentagramme haben insgesamt 30 Ecken. Wir haben wiederum ein Triakontagramm (Abb. 15).

Abb. 15: Triakontagramm