Hans Walser, [20190428]

Dodekaeder und Ikosaeder

1   Worum geht es?

Spezielle relative Lagen der beiden Kšrper.

2   DualitŠt

In der Abbildung 1 sind ein regelmŠ§iges Dodekaeder (grźn) und ein regelmŠ§iges Ikosaeder (rot) so arrangiert, dass sich die Kanten paarweise rechtwinklig schneiden und halbieren.

Abb. 1: Dodekaeder und Ikosaeder

Je eine Dodekaederkante und eine Ikosaederkante liegen also paarweise in derselben Ebene.

3   Problemstellung

Man zeige oder widerlege, dass es weitere Situationen gibt, in denen je eine Dodekaederkante und eine Ikosaederkante paarweise in derselben Ebene liegen.


 

4   Konstruktion einer Lšsung

Wir drehen das Dodekaeder um die senkrechte Achse durch den Mittelpunkt um 90ˇ (Abb. 2). Dass Dodekaeder verschwindet dabei weitgehend im Innern des Ikosaeders.

Abb. 2: Gedrehtes Dodekaeder


 

In der Abbildung 3 ist das Ikosaeder teilweise abgedeckt. Wir sehen, dass die Firstkante des gedrehten Dodekaeders auf der Firstkante des Ikosaeders liegt. Entsprechendes gilt auch fźr die extrem liegenden Kanten unten, links und rechts, sowie vorne und hinten.

Abb. 3: Ikosaeder teilweise abgedeckt


 

Wenn wir das gedrehte Dodekaeder etwas vergrš§ern, werden die extrem liegenden Kanten sichtbar (Abb. 4).

Die extrem liegenden Kanten der beiden Kšrper liegen nun nicht mehr aufeinander, sondern paarweise parallel und damit paarweise in einer Ebene.

Die restlichen Kanten der beiden Kšrper sind windschief.

Abb. 4: Leichte Vergrš§erung des Dodekaeders


 

In der Abbildung 5 ist das Dodekaeder weiter vergrš§ert worden. Die extrem liegenden Kanten sind nach wie vor parallel. Die restlichen Kanten von Dodekaeder und Ikosaeder nŠhern sich paarweise einander an. Damit ist es nur eine Frage der Zeit, bis sie sich treffen.

 

Abb. 5: Weitere Vergrš§erung des Dodekaeders


 

In der Abbildung 6 ist es soweit. Die restlichen Kanten schneiden sich paarweise und liegen somit paarweise in einer Ebene.

Abb. 6: Lšsung des Problems

5   Daten

5.1  KantenlŠngen

Wir setzen die KantenlŠnge des Ikosaeders auf 1. Das initiale Dodekaeder in den Abbildungen 1 und 2 hat damit die KantenlŠnge:

 

                                                                        (1)

 

 

 

Dabei erscheint der Goldene Schnitt (Walser 2013):

 

                                                                                                     (2)

 

 

 

Das vergrš§erte Dodekaeder der Lšsung (Abb. 6) hat die KantenlŠnge:

 

                                                           (3)

 

 

 

Aus (2) und (3) erhalten wir den Vergrš§erungsfaktor:

 

                                                     (4)

 

 

 

5.2  Schnittpunkte und Schnittwinkel

Die grźnen Dodekaederkanten (Abb. 6 und 7) werden durch die roten Ikosaederkanten gedrittelt. Umgekehrt werden die roten Ikosaederkanten so geteilt, dass das VerhŠltnis vom kurzen Teil zum ganzen Teil durch

 

                                                                                                             (5)

 

 

 

gegeben ist. Also kein rationales TeilverhŠltnis.

In der Abbildung 7 sind die 24 Schnittpunkte der Dodekaederkanten mit den Ikosaederkanten eingezeichnet.

Abb. 7: Schnittpunkte

Fźr den Schnittwinkel gilt:

 

                                                            (6)

 

 

 

5.3  OberflŠchen

Das Ikosaeder hat die OberflŠche:

 

                                                                                        (7)

 

 

 

Das Dodekaeder der Lšsung (Abb. 6 und 7) hat die OberflŠche:

 

                          (8)

 

 

 

Die OberflŠchen sind fast gleich gro§. Das OberflŠchenverhŠltnis ist etwa 1.0061.

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Weblinks

Hans Walser: OberflŠchengleiche platonische Kšrper und Kugel

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Oberflaechengleich/Oberflaechengleich.htm

 

Hans Walser: OberflŠchengleiche platonische Kšrper und Kugel 2

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Oberflaechengleich2/Oberflaechengleich2.htm