Hans Walser, [20170413]

Das DIN-Format im Dom zu Aachen

1     Worum geht es?

Im Fliesenmuster des Fu§bodens im Dom zu Aachen suchen wir nach Rechtecken mit dem SeitenverhŠltnis  (DIN-Rechtecke).

In den meist als Bandornament ausgearbeiteten Fliesenmustern wird sehr oft auf das regelmŠ§ige Achteck Bezug genommen. Es erstaunt daher nicht, dass auch DIN-Rechtecke auffindbar sind.

Im Folgenden einige Beispiele. Der Nachweis des DIN-Formates erfolgt rechnerisch.

†ber das DIN-Format siehe auch (Walser 2013), (Walser 2016) und [2].

2     Beispiele

Abb. 1: Din-Rechtecke verschiedener Grš§en

Abb. 2: Warum gibt es hier keine DIN-Rechtecke?

Abb. 3: Gibt es noch weitere DIN-Rechtecke?

Abb. 4: Das orange Rechteck ist halb so gro§ wie das gelbe

Abb. 5: DIN-Rechtecke verschiedener Grš§en

Abb. 6: Magere Ausbeute

3     Bemerkungen

3.1    Rechnerischer Nachweis

Wir berechnen exemplarisch die SeitenlŠngen des gelben Rechteckes der Abbildung 1. Die Abbildung 7 zeigt die verwendete Ma§einheit.

Abb. 7: Verma§ung

Wegen

 

                                                                                                 (1)

 

ist:

 

                                                                                           (2)

 

Das gelbe Rechteck ist also im DIN-Format.

Entsprechend kann bei den anderen eingezeichneten Rechtecken verfahren werden.

Bei den Beispielen der Abbildungen 3 und 5 benštigen wir den Tangens von 67.5ˇ. Der Taschenrechner gibt:

 

                                                                                  (3)

 

Wir vermuten:

                                                                      

                                                                                                         (4)

 

Fźr den Nachweis setzen wir zunŠchst tan(67.5ˇ) = x. Nun verwenden wir das Additionstheorem fźr den Tangens:

 

                                                     (5)

 

Wir erhalten die quadratische Gleichung:

 

                                                                                                                 (6)

 

Diese hat die Lšsungen:

 

                                                                                                                   (7)

 

In unserem Kontext ist die positive Lšsung relevant. Damit ist (4) nachgewiesen.

3.2    Das Beispiel ohne DIN-Rechteck

Die Figur der Abbildung 2 lŠsst sich in ein Karoraster und dessen Diagonalen einpassen (Abb. 8). In einem Karoraster mit Diagonalen kommen zwar LŠngenverhŠltnisse  vor, aber die zugehšrigen Strecken schneiden sich unter Winkeln von 45ˇ und kšnnen kein Rechteck bilden.

Abb. 8: Einpassen in Karoraster

3.3    Symmetrien

Zu Symmetrien siehe (Walser 2014) und [3].

3.3.1   Bandornamente

Die Figuren der Abbildungen 1 bis 5 sind Bandornamente. Sie gehšren alle zur selben Symmetrieklasse. (Symmetrieklasse F5 gemŠ§ (Walser 2014, S. 81)).

3.3.2   Oktogonaler Stern

Der Stern der Abbildung 6 ist an den Au§enecken nicht auf Gehrung gearbeitet (Abb. 9a).

Abb. 9: Ohne und mit Gehrung

Die Figur hat daher zwar eine achtteilige Drehsymmetrie, aber keine Spiegelachsen. Fźr die Herstellung werden drei verschiedene Fliesenformate benštigt (ohne das zentrale Achteck und ohne Au§enflŠchen).

Die auf Gehrung gearbeitete Figur der Abbildung 9b hat hingegen zusŠtzlich zur Drehsymmetrie acht Spiegelachsen. Fźr die Herstellung werden nur zwei verschiedene Fliesenformate benštigt.

3.4    Historisches

Die Marmorfu§bšden im Oktogon des Doms und in den UmgŠngen wurden 1913 verlegt [1].

Die Fu§bodenplatten wurden 2007-2010 umfassend saniert. Dabei wurde eine Unterkonstruktion zur statischen Sicherung eingebracht [1].

 

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

Walser, Hans (2014): Symmetrie in Raum und Zeit. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-46-2.

Walser, Hans (2016): Spielereien im DIN-Format. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 62. Heft 5-2016. S. 3-13.

 

 

Websites

 [1] Baugeschichte Dom zu Aachen (14. 4. 2017):

https://de.wikipedia.org/wiki/Aachener_Dom - K.C3.B6nigreich_Preu.C3.9Fen_.281815_bis_1918.29

 

[2] DIN-Format (15. 4. 2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/DIN_Format/index.html

 

[3] Symmetrie (15. 4. 2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Symmetrie/index.html