Hans Walser, [20090214a]
Briefumschlag
Wenn wir bei einem Papier-Rhombus die vier Ecken in die Mitte einfalten, entsteht ein Briefumschlag (von den Klebefalzen wird abgesehen).
Rhombus
und Briefumschlag
Gibt es
andere Papier-Vierecke, mit denen sich Ÿberlappungsfrei und lŸckenlos ein
Briefumschlag herstellen lŠsst?
Ist dies
insbesondere mit einem Rechteck mšglich?
ZunŠchst
ist nicht gesagt, dass das Briefumschlag-Viereck ein Rechteck sein soll. Es ist
lediglich ein dem ursprŸnglichen Papier-Viereck einbeschriebenes Viereck. Da
das Einfalten aber lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei geschehen soll, haben wir an
jeder Ecke des Briefumschlag-Viereckes die Situation der folgenden Figur.
Situation
an einer Ecke des Briefumschlages
Da die
ursprŸngliche Papierkante glatt ist, haben wir und daher . Der Briefumschlag wird also rechteckig.
Es gibt
nun zwei FŠlle je nachdem, ob alle vier Ecken des Papier-Viereckes nach dem
Einfalten in einem Punkt zusammen kommen, oder ob das nur jeweils zwei im
Papier-Viereck benachbarte Ecken tun.
Wenn zwei
benachbarte Ecken des Papier-Viereckes nach dem Einfalten zusammen kommen, wird
der Mittelpunkt der Papierkante zwischen diesen Ecken eine Ecke des
Briefumschlag-Rechteckes.
Dies ist
genau dann mšglich, wenn die Diagonalen des ursprŸnglichen Papier-Viereckes
orthogonal sind.
Viereck
mit orthogonalen Diagonalen
†berlegung:
Dass es geht, ist offensichtlich. Die Ecken des Papier-Viereckes kommen im
Diagonalenschnittpunkt zusammen. Die Frage ist, ob es auch ginge, wenn die Diagonalen
nicht orthogonal sind. Dies kann wie folgt ausgeschlossen werden: Da alle Ecken
des Papier-Viereckes in einem Punkt zusammenkommen, sind die Ecken des Briefumschlag-Rechteckes
jeweils die Kantenmitten des Papier-Viereckes. Das Kantenmittenviereck eines
beliebigen Viereckes ist ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den
Diagonalen sind. Da unser Briefumschlag-Rechteck ein Rechteck ist, mŸssen die
Diagonalen des Papier-Viereckes orthogonal sein.
Es geht
sogar mit einem Viereck, das nicht konvex ist, aber orthogonale Diagonalen hat
(Figur). Der Diagonalenschnittpunkt ist dann nur noch ãvirtuellÒ. Wir falten
zunŠchst die drei konvexen Ecken zum virtuellen Diagonalenschnittpunkt. Dann
steht etwas von der Grš§e des vierten, virtuellen Dreieckes (gelb) vor, was wir
nach hinten falten.
Nicht
konvexes Viereck
Wir
illustrieren die Situation an einem Beispiel.
Im Trapez
In ein
Papier-Trapez passen wir ein Rechteck ein, von welchem zwei gegenŸberliegende Ecken
auf den Mitten der SchrŠgkanten des Trapezes liegen und die zwei restlichen
Ecken auf den Parallelen. Dieses Rechteck wird das Briefumschlag-Rechteck. Nun
kšnnen wir die Ecken des Papier-Trapezes einfalten gemŠ§ Figur. Es geht
lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei. Ausprobieren!
Wenn beim
Einfalten je zwei benachbarte Ecken paarweise in einem Punkt zusammenkommen,
ist der Mittelpunkt der Papierkante zwischen diesen beiden Ecken eine Ecke des
Briefumschlag-Rechteckes. Die Winkel des Papierviereckes in diesen beiden Ecken
ergŠnzen sich auf 180¡ Grad, somit haben wir zwei parallele Papierkanten. Das
Papier-Viereck muss also ein Trapez sein.
Das
Briefumschlag-Rechteck hat zwei
diametrale Ecken in den Endpunkten der Mittelparallelen des Papier-Trapezes.
Die beiden anderen Ecken finden wir als Schnittpunkte des Thaleskreises Ÿber
der Mittelparallele mit den parallelen Seiten des Papier-Trapezes. Damit diese
Schnittpunkte existieren, muss die Trapezhšhe kleiner oder gleich der LŠnge der
Mittelparallele sind. Aber auch da kann es noch Probleme geben, wenn die
SchrŠgseiten des Trapezes zu schrŠg sind.
Zu schrŠge
Trapezseiten
In diesem
Fall schneidet der Thaleskreis die eine Parallelkante des Papier-Trapezes
nicht. Eine Ecke des Briefumschlag-Rechteckes wird ãvirtuellÒ. Trotzdem geht es
aber; man muss einen Šhnlichen Trick mit mehrfachem Falten wie oben beim nicht
konvexen Viereck anwenden. Ausprobieren!
Mit einem
Papier-Rechteck, etwa einem DIN-Blatt, geht es problemlos.
DIN-Blatt
Das
Briefumschlag-Rechteck hat allerdings nicht mehr das DIN-Format.