Hans Walser, [20150318]

Brennpunkte der Ellipse

1 Worum geht es?

Eine Ellipse sei durch fünf Punkte gegeben (Abb. 1).

Abb. 1: Eine Ellipse durch fünf Punkte

Gesucht sind die Brennpunkte der Ellipse. Gibt es ein Verfahren ohne Rechnen?

Bemerkung 1: durch fünf Punkte kann auch eine Hyperbel oder eine Parabel gegeben sein. Wir konzentrieren uns zunächst auf den Fall der Ellipse. Wie es bei Hyperbeln oder Parabeln geht, weiß ich nicht.

Bemerkung 2: In den Abbildungen ist jeweils die Ellipse magenta eingezeichnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Ellipse wird für die Konstruktionen nicht verwendet.

Bemerkung 3: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise überlassen wir dem der Lust hat.

2 Pappos-Pascal

Gemäß dem Satz von Pappos-Pascal kann zu den fünf gegebenen Punkten auf beliebig viele Arten ein sechster Ellipsenpunkt konstruiert werden. Das geht so (Abb. 2).

Abb. 2: Sechster Punkt

sei der Schnittpunkt der Geraden und . Durch legen wir eine beliebige Gerade q (hier haben wir einen Freiheitsgrad). sei der Schnittpunkt von mit q. sei der Schnittpunkt von mit q. Die Geraden und schneiden sich in einem Punkt , und dies ist ein weiterer Ellipsenpunkt.

In unserer Konstruktion war die Gerade q beliebig durch gewählt worden.

3 Modifikation

Die Abbildung 3 zeigt eine Modifikation.

Abb. 3: Modifikation

Wir wählen durch eine beliebige Gerade (in Abb. 3 blau gezeichnet). sei nun der Schnittpunkt dieser blauen Geraden mit . Weiter sei der Schnittpunkt von mit . Der Schnittpunkt von (das ist die blaue Gerade) mit ist nun der sechste Ellipsenpunkt.

Wir können also zu einem der fünf Startpunkte in beliebiger Richtung einen sechsten Ellipsenpunkt finden.

4 Eine Achse

Wir zeichnen durch und zwei parallele Geraden und darauf je einen weiteren Ellipsenpunkt beziehungsweise (Abb. 4, die Detailkonstruktionen sind nicht angegeben). und seien die Mittelpunkte der Strecken respektive . Die Gerade ist eine Achse der Ellipse, das heißt, eine Gerade, welche durch den Mittelpunkt der Ellipse verläuft. Hintergrund: affines Bild eines Kreises.

Abb. 4: Achse

5 Mittelpunkt der Ellipse

Wir konstruieren nun noch eine zweite Achse (Abb. 5). Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Mittelpunkt M der Ellipse.

Abb. 5: Mittelpunkt

6 Konjugierte Durchmesserrichtungen

Durch den Mittelpunkt M legen wir eine Parallele zu den Richtungen, welche wir bei der Konstruktion der ersten Achse verwendet haben (Abb. 6). Diese Parallele und die erste Achse haben konjugierte Durchmesserrichtungen.

Abb. 6: Konjugierte Durchmesserrichtungen

Leider haben wir nur die Richtungen der konjugierten Durchmesser und nicht die Durchmesser selbst. Wir sind also noch nicht über dem Berg.

7 Durchmesser

Um die Endpunkte der konjugierten Durchmesser zu finden, verfahren wir wie folgt. Wir starten mit der Konfiguration mit der Achse c der Abbildung 7, welche auf der Abbildungen 4 und 6 basiert.

Abb. 7: Ausgangslage

Es sei Q der Schnittpunkt der Achse c mit der Geraden . Zur Strecke QM zeichnen wir den Thaleskreis (Abb. 8).

Abb. 8: Thaleskreis

Weiter sei nun N der Mittelpunkt der Strecke und R der Schnittpunkt des Lotes in N auf c mit dem Thaleskreis (Abb. 9).

Abb. 9: Schnittpunkt mit Lot

In errichten wir ebenfalls das Lot auf c und schneiden dieses mit der Geraden QR. Das gibt den Schnittpunkt S (Abb. 10).

Abb. 10: Schnittpunkt

Die beiden Schnittpunkte und des Kreises um M durch S mit der Achse c sind Ellipsenpunkte und daher die Endpunkte des Ellipsendurchmessers auf der Achse c