Hans Walser, [20180927]

Binomialkoeffizienten

1     Worum geht es?

Die Binomialkoeffizienten werden ins Negative fortgesetzt.

2     Was man in der Schule lernt

Wir expandieren die Potenzen des Binoms (a + b):

 

                                                     (1)

 

 

 

 

 

 

Die auftretenden Koeffizienten hei§en Binomialkoeffizienten. Die Abbildung 1 gibt das Koeffizientenschema bis zum Exponenten n = 10. Das Schema wird als Pascalsches Dreieck bezeichnet.

Abb. 1: Pascalsches Dreieck

Die Binomialkoeffizienten werden mit  bezeichnet, wobei n der Zeilenindex ist, an der Spitze mit null beginnend, und k innerhalb einer Zeile der Laufindex, ebenfalls mit null beginnend.

Die binomischen Formeln gemŠ§ (1) kšnnen damit formal geschrieben werden wie folgt:

 

                                                                                       (2)

 

                                                                                                                                             

 

Dabei ist:

 

                                                                           (3)

 

 

Weiter gilt die Rekursionsformel:

 

                                                                                                     (4)

 

 

 

Diese lŠsst sich im Wabenmusters visualisieren gemŠ§ Abb. 2.

Abb. 2: Rekursion

3     Die gro§e Leere

Wir denken uns das Wabenmuster der Abbildung 1 erweitert und die Waben links und rechts mit Nullen aufgefŸllt. Damit genŸgen auch die Einsen in den DachschrŠgen des Dreiecks der Abbildung 1 der Rekursion (4) — mit Ausnahme der Eins an der Spitze fŸr n = 0.

Nun kšnnen wir die binomische Formel (2) schreiben:

 

                                                                                     (5)

 

 

 

Das ist natŸrlich ein Popanz, da nur Nullen dazukommen.

4     Die Ausnahme

Die Eins an der Spitze ergibt sich nicht aus der Rekursion. FŸr diese Eins an der Spitze ist ein eigener kleiner Schšpfungsakt oder ein UrknŠllchen erforderlich. Man kann auch von einem ãStartwertÒ reden.

Die Problematik kann verlagert werden, wenn wir in die beiden Waben links und rechts oberhalb der Spitzen-Eins je eine Zahl setzen, die zusammen eins ergeben. Allerdings mŸssen dann auch diese beiden Zahlen in die Rekursion eingebunden werden. Geht das?

5     Fortsetzung ins Negative

Wir nennen die beiden Zahlen p und q mit der Bedingung p + q = 1.

Abb. 3: Fortsetzung ins Negative

Die Abbildung 3 zeigt eine Lšsung der Fortsetzung der Binomialkoeffizienten ins Negative. Wir erkennen die Ÿblichen Binomialkoeffizienten, alternierend mit einem Minuszeichen versehen. Die Felder zwischen den Dreiecken sind mit Nullen gefŸllt.

Da p frei gewŠhlt werden kann, haben wir schon unendlich viele Lšsungen. Ich vermute, dass es noch andere Lšsungen gibt.

6     Formale Potenzreihen

Die binomische Formel (5) gilt nun auch fŸr negative n. Dabei mŸssen wir mit formalen Potenzreihen arbeiten, Konvergenzfragen werden nicht bearbeitet.

Wir illustrieren das am Beispiel n = –3. Aus der Abbildung 3 lesen wir ab:

 

       (6)

 

 

 

 

Man beachte die Nullen in der Mitte. Das ist der Ort wo die Formel das wei§e Feld zwischen den Dreiecken durchfŠhrt.

Die Richtigkeit der Formel kontrollieren wir durch RŸckmultiplikation. Es muss gelten:

 

                                                                           (7)

 

 

 

Die Abbildung 4 zeigt den relevanten Ausschnitt des Rechenschemas von (7). Das Ergebnis ist p + q = 1.

Abb. 4: Rechenschema

7     Symmetrie

Das Pascalsche Zahlendreieck der Abbildung 1 hat eine senkrechte Symmetrieachse. Damit auch die Fortsetzung ins Negative diese Symmetrie hat, muss  gewŠhlt werden (Abb. 5).

Abb.5: Symmetrische Version

8     Fibonacci-Zahlen

Geeignete SchrŠgzeilensummen im Pascalschen Dreieck ergeben die Fibonacci-Zahlen. Mit der Fortsetzung des Pascalschen Dreiecks vermšge q = 1 und p = 0 kšnnen wir die Fibonacci-Zahlen ins Negative fortsetzen (Abb. 6). BetragsmŠ§ig sind es dieselben Zahlen, aber wir haben alternierende Vorzeichen. Die Fibonacci-Rekursion

 

                                                                                                       (8)

 

 

ist durchgehend erfŸllt.

Abb. 6: Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen

Mehr Ÿber Fibonacci-Zahlen siehe Walser (2012).

 

Literatur

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.