Hans Walser, [20081117a]

Das Basler Problem

Anregung: P. B., L. und M. G., S. G.

1        Worum es geht

Jacob Bernoulli stellte die Frage um den Grenzwert von [Downey / Ong / Sellers]:

 

Bernoulli konnte die Frage nicht lšsen. Sie wurde in der Folge als Basler Problem bezeichnet. Erst Euler bewies 1737:

 

Euler selbst lieferte mehrere Beweise dazu.

Die numerische Berechnung (Excel) zeigt eine recht langsame Konvergenz:

k

1/k^2

Summe

6*Summe

Wurzel

1

1.00000000

1.00000000

6.00000000

2.44948974

2

0.25000000

1.25000000

7.50000000

2.73861279

3

0.11111111

1.36111111

8.16666667

2.85773803

4

0.06250000

1.42361111

8.54166667

2.92261299

5

0.04000000

1.46361111

8.78166667

2.96338770

6

0.02777778

1.49138889

8.94833333

2.99137649

7

0.02040816

1.51179705

9.07078231

3.01177395

8

0.01562500

1.52742205

9.16453231

3.02729786

9

0.01234568

1.53976773

9.23860639

3.03950759

10

0.01000000

1.54976773

9.29860639

3.04936164

 

Es werden folgende Variationen hergeleitet:

 

 

 

 

 

 

2        Der klassische Beweis

Die Funktion  hat die Taylor-Entwicklung

 

und die Nullstellen . Die Abbildung zeigt den Funktionsgrafen.

 

Wir bauen nun ein ăNullstellenpolynomŇ mit den passenden Linearfaktoren:

 

 

 

Das Absolutglied in  ist 1. Der Koeffizient von  ist:

 

 

Vergleich mit dem entsprechenden Koeffizienten von  liefert:

 

 

 

Die folgende Abbildung zeigt rot die Funktion , grźn das Taylorpolynom  und blau das endliche Produkt . Wir sehen, dass die Funktionsgrafen drastisch verschieden sind.

Vergleich der Funktionsgrafen

3        Variante mit Kosinus

3.1      Koeffizient zweiten Grades

Die Kosinusfunktion hat die Taylor-Entwicklung

und die Nullstellen . Daraus ergibt sich das Nullstellenpolynom:

 

 

 

 

 

Koeffizientenvergleich mit der Taylor-Entwicklung liefert:

 

 

 

Somit erhalten wir fźr die Reihe der Quadrate der Kehrwerte der ungeraden Zahlen:

 

 

Die Konvergenz ist auch nicht umwerfend, aber doch besser als auf dem klassischen Weg:

k

2*k-1

1/(2*k-1)^2

Summe

8*Summe

Wurzel

1

1

1.00000000

1.00000000

8.00000000

2.82842712

2

3

0.11111111

1.11111111

8.88888889

2.98142397

3

5

0.04000000

1.15111111

9.20888889

3.03461511

4

7

0.02040816

1.17151927

9.37215420

3.06139743

5

9

0.01234568

1.18386495

9.47091963

3.07748593

6

11

0.00826446

1.19212942

9.53703533

3.08820908

7

13

0.00591716

1.19804658

9.58437261

3.09586379

8

15

0.00444444

1.20249102

9.61992816

3.10160090

9

17

0.00346021

1.20595123

9.64760982

3.10606018

10

19

0.00277008

1.20872131

9.66977049

3.10962546

 

Nun gelten bei den Numerologen (Zahlenmystikern) die ungeraden Zahlen als mŠnnlich, die BeschrŠnkung auf die ungeraden Zahlen ist also sexistisch. TatsŠchlich ergibt sich aber aus dieser Formel die klassische Formel. Dies kann wie folgt gezeigt werden. Aus

 

erhalten wir durch Trennung in gerade und ungerade Anteile:

 

 

 

Somit ist:

 

 

 

 

3.2      Koeffizient vierten Grades

Aus dem Nullstellenpolynom

 

 

lesen wir mit einigen kombinatorischen †berlegungen den Koeffizienten  fźr  ab. Dazu brauchen bis auf den gemeinsamen Faktor  die Summe aller Produkte von zwei verschiedenen Faktoren aus der Menge . Wir verwenden die folgende †bersicht.

Tabelle

Die roten Felder benštigen wir nicht (zwei gleiche Faktoren), die benštigten blauen Felder kommen je doppelt vor.

Wir kšnnen aber auch einfach źber die Formel  nachdenken. Diese kann umgeschrieben werden zu .

Jedenfalls ergibt sich:

 

 

Darin erscheint die schon bekannte Formel . Somit ist:

 

 

 

 

 

Der Koeffizientenvergleich mit der Taylor-Entwicklung liefert:

 

 

 

Daraus erhalten wir:

 

 

Numerisch sieht das so aus:

k

2*k-1

1/(2*k-1)^4

Summe

96*Summe

Vierte Wurzel

1

1

1.00000000

1.00000000

96.00000000

3.13016916

2

3

0.01234568

1.01234568

97.18518519

3.13978577

3

5

0.00160000

1.01394568

97.33878519

3.14102563

4

7

0.00041649

1.01436217

97.37876853

3.14134814

5

9

0.00015242

1.01451459

97.39340044

3.14146613

6

11

0.00006830

1.01458289

97.39995737

3.14151901

7

13

0.00003501

1.01461790

97.40331860

3.14154611

8

15

0.00001975

1.01463766

97.40521489

3.14156140

9

17

0.00001197

1.01464963

97.40636431

3.14157067

10

19

0.00000767

1.01465730

97.40710095

3.14157661

 

Wow, ist das aber gut.

Natźrlich ist die Formel wieder sexistisch. Wir kšnnen aber eine harmlose Formel herleiten.

 

 

 

 

 

Damit wird:

 

 

Also:

 

Natźrlich kann diese Formel auch źber den klassischen Weg hergeleitet werden.

Die Konvergenz ist etwas weniger gut als bei :

k

1/k^4

Summe

90*Summe

Vierte Wurzel

1

1.00000000

1.00000000

90.00000000

3.08007029

2

0.06250000

1.06250000

95.62500000

3.12710787

3

0.01234568

1.07484568

96.73611111

3.13615238

4

0.00390625

1.07875193

97.08767361

3.13899789

5

0.00160000

1.08035193

97.23167361

3.14016118

6

0.00077160

1.08112353

97.30111806

3.14072172

7

0.00041649

1.08154003

97.33860244

3.14102416

8

0.00024414

1.08178417

97.36057509

3.14120140

9

0.00015242

1.08193658

97.37429251

3.14131204

10

0.00010000

1.08203658

97.38329251

3.14138462

 

3.3      Koeffizient sechsten Grades

Aus dem Nullstellenpolynom

 

 

lesen wir mit einigen kombinatorischen †berlegungen folgenden Koeffizienten  fźr  ab. Wir benštigen die Summe der Produkte von je drei verschiedenen Faktoren aus der Menge . Dazu kann entweder eine dreidimensionale Tabelle verwendet werden oder folgende †berlegung: Aus

 

 

 

 

 

ergibt sich:

 

 

Jedenfalls erhalten wir:

 

 

 

 

 

 

Vergleich mit den entsprechenden Koeffizienten  der Taylor-Entwicklung liefert:

 

 

Numerisch erhalten wir eine recht gute Konvergenz.

k

2*k-1

1/(2*k-1)^6

Summe

960*Summe

Sechste Wurzel

1

1

1.0000000000

1.0000000000

960.0000000000

3.1408356050

2

3

0.0013717421

1.0013717421

961.3168724280

3.1415532643

3

5

0.0000640000

1.0014357421

961.3783124280

3.1415867274

4

7

0.0000084999

1.0014442420

961.3864722933

3.1415911715

5

9

0.0000018817

1.0014461236

961.3882787027

3.1415921553

6

11

0.0000005645

1.0014466881

961.3888205977

3.1415924505

7

13

0.0000002072

1.0014468953

961.3890194868

3.1415925588

8

15

0.0000000878

1.0014469831

961.3891037667

3.1415926047

9

17

0.0000000414

1.0014470245

961.3891435387

3.1415926263

10

19

0.0000000213

1.0014470458

961.3891639443

3.1415926375

 

3.4      Koeffizient achten Grades

Fźr den Koeffizienten  von  benštigen wir die Summe der Produkte von je vier verschiedenen Faktoren aus der Menge . Dazu brŠuchten wir eine vierdimensionale Tabelle. Helfen tut auch folgende †berlegung: Aus dem Ansatz

 

 

 

 

 

 

liefern die Koeffizientenvergleiche fźr , ,  und  die Gleichungen

 

 

 

 

mit der Lšsung . Somit ist:

 

 

 

 

 

 

Vergleich mit dem entsprechenden Koeffizienten  der Taylor-Entwicklung ergibt:

 

 

Somit:

 

 

Numerisch:

k

2*k-1

1/(2*k-1)^8

Summe

161280/17*Summe

Achte Wurzel

1

1

1.0000000000

1.0000000000

9487.0588235294

3.1415317202

2

3

0.0001524158

1.0001524158

9488.5048010974

3.1415915686

3

5

0.0000025600

1.0001549758

9488.5290879680

3.1415925738

4

7

0.0000001735

1.0001551493

9488.5307336551

3.1415926419

5

9

0.0000000232

1.0001551725

9488.5309540449

3.1415926510

6

11

0.0000000047

1.0001551772

9488.5309983028

3.1415926529

7

13

0.0000000012

1.0001551784

9488.5310099329

3.1415926533

8

15

0.0000000004

1.0001551788

9488.5310136346

3.1415926535

9

17

0.0000000001

1.0001551789

9488.5310149946

3.1415926535

10

19

0.0000000001

1.0001551790

9488.5310155532

3.1415926536

 

Bei hšheren Potenzen wird die Konvergenz immer besser.

Literatur

[Downey / Ong / Sellers] Downey, Lawrence / Ong, Boon W.  / Sellers, James A. : Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391-394