Hans Walser, [20081117a]
Das Basler Problem
Anregung: P. B., L. und M. G., S. G.
Jacob Bernoulli stellte die Frage um den Grenzwert von [Downey / Ong / Sellers]:
Bernoulli konnte die Frage nicht lšsen. Sie wurde in der Folge als Basler Problem bezeichnet. Erst Euler bewies 1737:
Euler selbst lieferte mehrere Beweise dazu.
Die numerische Berechnung (Excel) zeigt eine recht langsame Konvergenz:
k |
1/k^2 |
Summe |
6*Summe |
Wurzel |
1 |
1.00000000 |
1.00000000 |
6.00000000 |
2.44948974 |
2 |
0.25000000 |
1.25000000 |
7.50000000 |
2.73861279 |
3 |
0.11111111 |
1.36111111 |
8.16666667 |
2.85773803 |
4 |
0.06250000 |
1.42361111 |
8.54166667 |
2.92261299 |
5 |
0.04000000 |
1.46361111 |
8.78166667 |
2.96338770 |
6 |
0.02777778 |
1.49138889 |
8.94833333 |
2.99137649 |
7 |
0.02040816 |
1.51179705 |
9.07078231 |
3.01177395 |
8 |
0.01562500 |
1.52742205 |
9.16453231 |
3.02729786 |
9 |
0.01234568 |
1.53976773 |
9.23860639 |
3.03950759 |
10 |
0.01000000 |
1.54976773 |
9.29860639 |
3.04936164 |
Es werden folgende Variationen hergeleitet:
Die Funktion hat die Taylor-Entwicklung
und die Nullstellen . Die Abbildung zeigt den Funktionsgrafen.
Wir bauen nun ein ăNullstellenpolynomŇ mit den passenden Linearfaktoren:
Das Absolutglied in ist 1. Der Koeffizient von ist:
Vergleich mit dem entsprechenden Koeffizienten von liefert:
Die folgende Abbildung zeigt rot die Funktion , grźn das Taylorpolynom und blau das endliche Produkt . Wir sehen, dass die Funktionsgrafen drastisch verschieden sind.
Vergleich der Funktionsgrafen
Die Kosinusfunktion hat die Taylor-Entwicklung
und die Nullstellen . Daraus ergibt sich das Nullstellenpolynom:
Koeffizientenvergleich mit der Taylor-Entwicklung liefert:
Somit erhalten wir fźr die Reihe der Quadrate der Kehrwerte der ungeraden Zahlen:
Die Konvergenz ist auch nicht umwerfend, aber doch besser als auf dem klassischen Weg:
k |
2*k-1 |
1/(2*k-1)^2 |
Summe |
8*Summe |
Wurzel |
1 |
1 |
1.00000000 |
1.00000000 |
8.00000000 |
2.82842712 |
2 |
3 |
0.11111111 |
1.11111111 |
8.88888889 |
2.98142397 |
3 |
5 |
0.04000000 |
1.15111111 |
9.20888889 |
3.03461511 |
4 |
7 |
0.02040816 |
1.17151927 |
9.37215420 |
3.06139743 |
5 |
9 |
0.01234568 |
1.18386495 |
9.47091963 |
3.07748593 |
6 |
11 |
0.00826446 |
1.19212942 |
9.53703533 |
3.08820908 |
7 |
13 |
0.00591716 |
1.19804658 |
9.58437261 |
3.09586379 |
8 |
15 |
0.00444444 |
1.20249102 |
9.61992816 |
3.10160090 |
9 |
17 |
0.00346021 |
1.20595123 |
9.64760982 |
3.10606018 |
10 |
19 |
0.00277008 |
1.20872131 |
9.66977049 |
3.10962546 |
Nun gelten bei den Numerologen (Zahlenmystikern) die ungeraden Zahlen als mŠnnlich, die BeschrŠnkung auf die ungeraden Zahlen ist also sexistisch. TatsŠchlich ergibt sich aber aus dieser Formel die klassische Formel. Dies kann wie folgt gezeigt werden. Aus
erhalten wir durch Trennung in gerade und ungerade Anteile:
Somit ist:
Aus dem Nullstellenpolynom
lesen wir mit einigen kombinatorischen †berlegungen den Koeffizienten fźr ab. Dazu brauchen bis auf den gemeinsamen Faktor die Summe aller Produkte von zwei verschiedenen Faktoren aus der Menge . Wir verwenden die folgende †bersicht.
Tabelle
Die roten Felder benštigen wir nicht (zwei gleiche Faktoren), die benštigten blauen Felder kommen je doppelt vor.
Wir kšnnen aber auch einfach źber die Formel nachdenken. Diese kann umgeschrieben werden zu .
Jedenfalls ergibt sich:
Darin erscheint die schon bekannte Formel . Somit ist:
Der Koeffizientenvergleich mit der Taylor-Entwicklung liefert:
Daraus erhalten wir:
Numerisch sieht das so aus:
k |
2*k-1 |
1/(2*k-1)^4 |
Summe |
96*Summe |
Vierte
Wurzel |
1 |
1 |
1.00000000 |
1.00000000 |
96.00000000 |
3.13016916 |
2 |
3 |
0.01234568 |
1.01234568 |
97.18518519 |
3.13978577 |
3 |
5 |
0.00160000 |
1.01394568 |
97.33878519 |
3.14102563 |
4 |
7 |
0.00041649 |
1.01436217 |
97.37876853 |
3.14134814 |
5 |
9 |
0.00015242 |
1.01451459 |
97.39340044 |
3.14146613 |
6 |
11 |
0.00006830 |
1.01458289 |
97.39995737 |
3.14151901 |
7 |
13 |
0.00003501 |
1.01461790 |
97.40331860 |
3.14154611 |
8 |
15 |
0.00001975 |
1.01463766 |
97.40521489 |
3.14156140 |
9 |
17 |
0.00001197 |
1.01464963 |
97.40636431 |
3.14157067 |
10 |
19 |
0.00000767 |
1.01465730 |
97.40710095 |
3.14157661 |
Wow, ist das aber gut.
Natźrlich ist die Formel wieder sexistisch. Wir kšnnen aber eine harmlose Formel herleiten.
Damit wird:
Also:
Natźrlich kann diese Formel auch źber den klassischen Weg hergeleitet werden.
Die Konvergenz ist etwas weniger gut als bei :
k |
1/k^4 |
Summe |
90*Summe |
Vierte
Wurzel |
1 |
1.00000000 |
1.00000000 |
90.00000000 |
3.08007029 |
2 |
0.06250000 |
1.06250000 |
95.62500000 |
3.12710787 |
3 |
0.01234568 |
1.07484568 |
96.73611111 |
3.13615238 |
4 |
0.00390625 |
1.07875193 |
97.08767361 |
3.13899789 |
5 |
0.00160000 |
1.08035193 |
97.23167361 |
3.14016118 |
6 |
0.00077160 |
1.08112353 |
97.30111806 |
3.14072172 |
7 |
0.00041649 |
1.08154003 |
97.33860244 |
3.14102416 |
8 |
0.00024414 |
1.08178417 |
97.36057509 |
3.14120140 |
9 |
0.00015242 |
1.08193658 |
97.37429251 |
3.14131204 |
10 |
0.00010000 |
1.08203658 |
97.38329251 |
3.14138462 |
Aus dem Nullstellenpolynom
lesen wir mit einigen kombinatorischen †berlegungen folgenden Koeffizienten fźr ab. Wir benštigen die Summe der Produkte von je drei verschiedenen Faktoren aus der Menge . Dazu kann entweder eine dreidimensionale Tabelle verwendet werden oder folgende †berlegung: Aus
ergibt sich:
Jedenfalls erhalten wir:
Vergleich mit den entsprechenden Koeffizienten der Taylor-Entwicklung liefert:
Numerisch erhalten wir eine recht gute Konvergenz.
k |
2*k-1 |
1/(2*k-1)^6 |
Summe |
960*Summe |
Sechste
Wurzel |
1 |
1 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
960.0000000000 |
3.1408356050 |
2 |
3 |
0.0013717421 |
1.0013717421 |
961.3168724280 |
3.1415532643 |
3 |
5 |
0.0000640000 |
1.0014357421 |
961.3783124280 |
3.1415867274 |
4 |
7 |
0.0000084999 |
1.0014442420 |
961.3864722933 |
3.1415911715 |
5 |
9 |
0.0000018817 |
1.0014461236 |
961.3882787027 |
3.1415921553 |
6 |
11 |
0.0000005645 |
1.0014466881 |
961.3888205977 |
3.1415924505 |
7 |
13 |
0.0000002072 |
1.0014468953 |
961.3890194868 |
3.1415925588 |
8 |
15 |
0.0000000878 |
1.0014469831 |
961.3891037667 |
3.1415926047 |
9 |
17 |
0.0000000414 |
1.0014470245 |
961.3891435387 |
3.1415926263 |
10 |
19 |
0.0000000213 |
1.0014470458 |
961.3891639443 |
3.1415926375 |
Fźr den Koeffizienten von benštigen wir die Summe der Produkte von je vier verschiedenen Faktoren aus der Menge . Dazu brŠuchten wir eine vierdimensionale Tabelle. Helfen tut auch folgende †berlegung: Aus dem Ansatz
liefern die Koeffizientenvergleiche fźr , , und die Gleichungen
mit der Lšsung . Somit ist:
Vergleich mit dem entsprechenden Koeffizienten der Taylor-Entwicklung ergibt:
Somit:
Numerisch:
k |
2*k-1 |
1/(2*k-1)^8 |
Summe |
161280/17*Summe |
Achte
Wurzel |
1 |
1 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
9487.0588235294 |
3.1415317202 |
2 |
3 |
0.0001524158 |
1.0001524158 |
9488.5048010974 |
3.1415915686 |
3 |
5 |
0.0000025600 |
1.0001549758 |
9488.5290879680 |
3.1415925738 |
4 |
7 |
0.0000001735 |
1.0001551493 |
9488.5307336551 |
3.1415926419 |
5 |
9 |
0.0000000232 |
1.0001551725 |
9488.5309540449 |
3.1415926510 |
6 |
11 |
0.0000000047 |
1.0001551772 |
9488.5309983028 |
3.1415926529 |
7 |
13 |
0.0000000012 |
1.0001551784 |
9488.5310099329 |
3.1415926533 |
8 |
15 |
0.0000000004 |
1.0001551788 |
9488.5310136346 |
3.1415926535 |
9 |
17 |
0.0000000001 |
1.0001551789 |
9488.5310149946 |
3.1415926535 |
10 |
19 |
0.0000000001 |
1.0001551790 |
9488.5310155532 |
3.1415926536 |
Bei hšheren Potenzen wird die Konvergenz immer besser.
Literatur
[Downey
/ Ong / Sellers] Downey, Lawrence / Ong, Boon W. / Sellers, James A. : Beyond the Basel
Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics
Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391-394