Hans Walser, [20160821]

Apolloniuskreise im Dreieck

1     Worum geht es?

Geeignete Apolloniuskreise in einem beliebigen Dreieck fźhren zu einem Schnittpunkt mit 60ˇ-Teilung.

Wir treffen auf klassische Namen: Apollonius von Perga (um 262 v. Chr. - um 190 v. Chr.) , Giovanni Benedetto Ceva (1647 - 1734), Pierre de Fermat (1601/07 - 1665) und Menelaos von Alexandria (um 70 - um 130).

2     Innere und Šu§ere Teilpunkte

Wir arbeiten in einem, beliebigen Dreieck A0A1A2 mit den SeitenlŠngen a0, a1, a2.

In diesem Dreieck A0A1A2 schneiden die innere beziehungsweise Šu§ere Winkelhalbierende durch A0 die Gegenseite in U0 beziehungsweise in V0. Der Mittelpunkt der Strecke U0V0 ist M0. Entsprechend die źbrigen Punkte Ui, Vi, Mi (Abb. 1).

Abb. 1: Teilpunkte

3     Kollineare Punkte

Wir vermuten (Abb. 2):

(1) Die drei Punkte V0, V1, V2 sind kollinear.

(2)  Ebenso sind die drei Punkte M0, M1, M2 kollinear.

Die Vermutung (1) kann als Sonderfall des Satzes des Menelaos von Alexandria gezeigt werden. Im Hintergrund steckt der Satz von Ceva mit den Winkelhalbierenden als Ecktransversalen.

Die Vermutung (2) wird im Folgenden in dieser Studie bewiesen.

Die beiden Geraden sind nicht parallel.

Abb. 2: Kollineare Punkte

4     Apolloniuskreise

Mit ki bezeichnen wir den Thaleskreis źber der Strecke UiVi (Abb. 3). Er hat den Mittelpunkt M1.

Der Kreis ki ist auch der Apolloniuskreis zur Strecke Ai+1Ai+2 (Indizes modulo 3). Fźr einen Punkt P auf dem Kreis k0 gilt folgende Abstandsrelation:

 

                                                                       (1)

 

Allgemein (Indizes modulo 3):

 

                                                                           (2)

           

Abb. 3: Apolloniuskreise

 

Vermutungen:

(3) Die drei Kreise k0, k1, k2 haben zwei gemeinsame Schnittpunkte (in der Abbildung 3 mit S und T bezeichnet). Sie bilden also ein Kreisbźschel.

(4) Die drei Kreise k0, k1, k2 schneiden sich in S und T unter Winkeln von 60ˇ.

5     Schnittpunkte der Apolloniuskreise

Die Schnittpunkteigenschaft kann mit der Abstandsrelation (2) gezeigt werden.

Es sei P ein Schnittpunkt von k0 und k1. Dann gilt:

 

                   (3)

 

Somit:

 

                                                                                           (4)

 

Das hei§t aber, dass der Punkt P auch auf dem Kreis k2 liegt. Damit ist die Schnittpunkteigenschaft beweisen.

Die Mittelpunkte M0, M1, M2 liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke ST. Damit ist auch die Vermutung (2) źber die KollinearitŠt der drei Mittelpunkte bewiesen.

6     RegelmŠ§ige Winkelteilung

Die Vermutung (4) źber die Schnittwinkel 60ˇ kann ich nicht beweisen.

Immerhin folgendes:

7     Fermat-Punkte

Wir zeichnen die drei gleichseitigen Dreiecke M0M1N2, M1M2N0 und M2M0N3 (Abb. 4).

Abb. 4: Gleichseitige Dreiecke

Die drei Geraden MiNi sind kopunktal (und wir vermuten, dass der gemeinsame Schnittpunkt der Punkt T ist). Zudem schneiden sich die drei Geraden unter Winkeln von 60ˇ. Der Hintergrund ist folgender: Der gemeinsame Schnittpunkt der drei Geraden MiNi ist einer der beiden Fermat-Punkte des (flachgedrźckten) Dreieckes M0M1M2.

Wir mźssen also noch zeigen, dass die beiden Punkte S und T die beiden Fermat-Punkte sind. Die von den Mittelpunkten M0, M1, M2 zu T verlaufenden Radien liegen dann auf den Geraden MiNi und bilden in T Winkel von 60ˇ. Damit schneiden sich auch die Kreise ki unter diesen Winkeln.