Hans Walser, [20210106]

Al-Sijzi

1   Worum geht es?

Kinematische Beispiele

2   Pythagoras und al-Sijzi

Nach dem Satz des Pythagoras bleibt beim rechtwinkligen Dreieck die Summe der QuadratflŠchen Ÿber den beiden Katheten invariant, wenn der Eckpunkt beim rechten Winkel auf dem Thaleskreis bewegt wird.

In einem beliebigen Dreieck ABC bleibt die Summe a2 + b2 invariante, wenn die Ecke C auf dem Kreis um den Mittelpunkt der Strecke AB und dem Radius sc (von C ausgehende Schwerlinie) bewegt wird (Satz von al-Sijzi). Alternativ kšnnen wir auch sc festlassen und die Strecke AB um ihren Mittelpunkt drehen (Abb. 1).

 

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Abb. 1: Propeller. Invariante QuadratflŠchensumme

Es funktioniert auch mit einem dreiteiligen (oder n-teiligen) Propeller (Abb. 2).

 

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Abb. 2: Dreiteiliger Propeller

3   Noch mehr Kinematik

Wir lassen zwei Propeller synchron, aber phasenversetzt rotieren.

Die FlŠchensumme der angesetzten Quadrate ist invariant (Abb. 3).

 

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Abb. 3: Zwei Propeller

Beweis: Wir bezeichnen die Radien der beiden Propeller mit a beziehungsweise b. Im Standbild der Abbildung 4 ist nur eines der beiden Quadrate eingezeichnet, die folgende †berlegung gilt aber auch fŸr das andere Quadrat.

Wir verschieben das Quadrat (rot) so, dass eine Ecke in das Drehzentrum des ersten Propellers zu liegen kommt. Der Verschiebungsvektor hat die LŠnge a. Das verschobene Quadrat ist grŸn gezeichnet. Der violett eingezeichnete Winkel ist die Phasenversetzung.

Abb. 4: Verschieben eines Quadrates

Das grŸne Quadrat hat nun die linke untere Ecke fest. Die rechte untere Ecke rotiert mit dem Propellerarm s. Dieser lŠsst sich aus a und b sowie der Phasenversetzung berechnen.

Das grŸne Quadrat ist also in der Situation der Abbildung 1.

Entsprechend kann das andere rote Quadrat verschoben werden. Aus dem Satz von al-Sijzi gemŠ§ Abbildung 1 folgt daher die Invarianz der FlŠchensumme der Abbildung 3.

4   Vier Propeller

Wir kšnnen in die beiden rechten oberen Quadratecken der Abbildung 3 und ebenso in die beiden linken oberen Ecken je einen weiteren Propeller einpassen (Abb. 5).

 

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Abb. 5: Zwei weitere Propeller

Somit haben wir nun vier Propeller. Ihre Drehzentren bilden ein Quadrat. FŸr die zu den Propellern gehšrenden Drehkreise gilt: Die alternierende Summe der KreisflŠchen ist null. Es ist also dunkelblau = hellblau.

Um dies einzusehen ergŠnzen wir zunŠchst die Abbildung 4 durch die beiden neuen Zentren (Abb. 6). Die Radien der beiden zusŠtzlichen Propeller bezeichnen wir mit c beziehungsweise d.

Abb. 6: Die vier Drehzentren

Die blauen Strecken der Abbildung 6 lassen sich zu einem Quadrat zusammenfŸgen (Abb. 7a). Ein dieses Quadrat passen auch die vier Radien a, b, c und d. Dies wird durch die Abbildung 7b illustriert.

 

Abb. 7: Kleines Quadrat mit Radien

Aus der Figur 7a lŠsst sich eine Beziehung fŸr die vier Radien herleiten. Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 8b.

Abb. 8: Radien und Quadrat

FŸr die Quadrate der Radien ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:

 

                                                                                           (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Daraus ergibt sich, dass die alternierende Summe der Quadrate der Radien verschwindet:

 

                                                                                                 (2)

 

 

 

Damit verschwindet aber auch die alternierende Summe der KreisflŠchen in der Abbildung 5.

5   Weitere Beispiele

Die Summe der fŸnf roten QuadratflŠchen (Abb. 9) ist invariant. Die alternierende Summe der vier FŸnfeckflŠchen ist null.

 

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Abb. 9: Quadrate und FŸnfecke

Die Summe der drei roten DreiecksflŠchen (Abb. 10) ist invariant.

 

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Abb. 10: Dreiecke und Dreiecke

 

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