Hans Walser, [20190517]

Al-Sijzī

1     Worum geht es?

Es wird ein Theorem des persischen Mathematikers Al-Sijzī (zweite HŠlfte des 10. Jahrhunderts) verallgemeinert.

2     Das Theorem des Al-Sijzī

Wir beginnen mit einer Strecke  und deren Mittelpunkt M. Um M zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius und wŠhlen darauf einen Punkt P. Die Abbildung 1 zeigt zwei verschiedene Wahlen des Punktes P. Den Kreis lassen wir unverŠndert.

Abb. 1: Startfigur

Nun zeichnen wir je ein Quadrat mit den SeitenlŠngen  und  (Abb. 2).

Abb. 2: Quadrate

Das Theorem des Al-Sijzī besagt nun, dass die Summe der beiden QuadratflŠchen eine Invariante ist, unabhŠngig von der Wahl des Punktes P auf dem Kreis.

Bemerkung: FŸr den Sonderfall des Kreises durch die Endpunkte der Strecke  ist das der gute alte Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras gibt allerdings zusŠtzlich eine Information Ÿber die Grš§e der Summe der beiden QuadratflŠchen.

Die Abbildung 3 zeigt eine leicht modifizierte Anordnung des einen Quadrates.

Abb. 3: Modifizierte Anordnung

Diese Modifikation erlaubt eine systematische Darstellung in der folgenden Verallgemeinerung.

3     Verallgemeinerung

Wir interpretieren die Strecke  als Zweieck und verallgemeinern auf ein regelmŠ§iges n-Eck (Abb. 4 fŸr n = 5).

Um den Mittelpunkt M eines regelmŠ§igen n-Eckes  zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius und wŠhlen darauf einen beliebigen Punkt P. Den Kreis lassen wir im folgenden fest, variieren aber den Punkt P.

Abb. 4: Startfigur

Nun zeichnen wir je ein Quadrat mit der SeitenlŠnge  (Abb. 5).

Abb. 5: Quadrate

Die Summe der FlŠcheninhalte dieser n Quadrate ist eine Invariante. Sie ist unabhŠngig von der Wahl des Punktes P auf dem als fest gedachten Kreis.

4     Beweis

Wir setzen M in den Koordinatenursprung und beschreiben das regelmŠ§ige n-Eck durch:

 

                                                                  (1)

 

 

 

Weiter sei r der Radius des Kreises und:

 

                                                                                         (2)

 

 

 

FŸr die Strecke  und damit fŸr die zugehšrige QuadratflŠche ergibt sich:

 

                             (3)

 

 

 

Daraus ergibt sich fŸr die Summe der QuadratflŠchen:

 

                         (4)

 

 

 

Wir haben zu zeigen, dass diese Summe unabhŠngig von t ist. Wir leiten nach t ab:

 

            (5)

 

 

 

 

 

 

Aus (5) folgt die Invarianz.

5     Variante

Wer Lust hat, kann die in der Abbildung 6 angedeutete Variante beweisen. Bei variieren des roten Punktes auf dem roten Kreis bleibt die QuadratflŠchensumme invariant.

Abb. 6: Variante

6     Noch eine Verallgemeinerung

Wir ersetzen die Quadrate in der Abbildung 5 durch andere regelmŠ§ige Vielecke, zum Beispiel durch gleichseitige Dreiecke (Abb. 7) oder regelmŠ§ige FŸnfecke (Abb. 8). Auch in diesen FŠllen ist die Summe der FlŠcheninhalte invariant.

Abb. 7: Dreiecke statt Quadrate

Abb. 8: FŸnfecke statt Quadrate

7     Animation

Dieser Studie ist eine GeoGebra-Animation beigegeben. Mittels Schieber kšnnen gewŠhlt werden:

á            Die Eckenzahl n des regelmŠ§igen n-Eckes.

á            Die Eckenzahl m der eingefŸgten regelmŠ§igen m-Ecke, deren FlŠchensumme invariant ist. Diese regelmŠ§igen m-Ecke sind alle in transparentem Blau gegeben.

á            Der Radius r des roten Kreises.

8     SonderfŠlle

á            FŸr r = 1 arbeiten wir mit dem Umkreis des regelmŠ§igen n-Eckes.

á            FŸr r = 1, n = 2 und m = 4 ergibt sich die Situation des Satzes von Pythagoras. Die Darstellung ist etwas ungewohnt, indem ein Quadrat nach innen gerichtet ist und das Hypotenusenquadrat fehlt. Das Hypotenusenquadrat ergibt sich als Grenzfall, wenn P auf ein Streckenende zu liegen kommt.

á            FŸr r = 1, n = 3 und m = 3 ergibt sich die Situation der Abbildung 9. Die FlŠchensumme der blauen Dreiecke ist gleich dem Doppelten des FlŠcheninhaltes des Startdreiecks. Dies ergibt sich aus einem Grenzfall, wenn P auf eine Dreiecksecke zu liegen kommt.

Abb. 9: Dreiecke

á            FŸr r = 1, n = 4 und m = 4 ergibt sich die Situation der Abbildung 10. Die FlŠchensumme der blauen Quadrate entspricht dem Vierfachen des FlŠcheninhaltes des Startquadrates.

Abb. 10: Quadrate

á            FŸr r = 1, n = 20 und m = 20 ergibt sich etwas Lustiges (Abb. 11).

Abb. 11: 20-Ecke

 

Websites

 

Hans Walser: Kreisscharen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreisscharen2/Kreisscharen2.htm

 

Hans Walser: FlŠchensatz im Dreieck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechensatz_im_Dreieck/Flaechensatz_im_Dreieck.htm