Hans Walser, [20131123], [20140217]

Achteck und silbernes Rechteck

1     Worum geht es?

Die Abbildung 1 zeigt rechts ein regelmŠ§iges Achteck mit einem eingezeichneten Rechteck.

Abb. 1: Achteck und silbernes Rechteck

Dieses Rechteck ist das so genannte silberne Rechteck. Es ist flŠchenmŠ§ig genau halb so gro§ wie das Achteck. WerŐs nicht glaubt, kann nachrechnen.

Das silberne Rechteck hŠngt eng mit den DIN-Rechtecken zusammen (Walser, 2013).

2     Zerlegungsbeweise

Im Folgenden einige Zerlegungsbeweise. Welcher ist der Schšnste?

Im Beispiel der Abbildung 2 haben wir insgesamt sieben Teile und vier Formen. Das silberne Rechteck ist selber ein Teil.

Abb. 2

Im Beispiel der Abbildung 3 brauchen wir zwar auch sieben Teile, kommen aber mit drei Formen durch.

Abb. 3

Im Beispiel der Abbildung 4 benštigen wir neun Teile und vier Formen.

Abb. 4

Im Beispiel der Abbildung 5 benštigen wir acht Teile, aber nur zwei Formen. Das silberne Rechteck kommt nicht mehr als Teil vor.

Abb. 5

Im Beispiel der Abbildungen 6 und 7 haben wir zwei- und vierteilige Drehsymmetrien.

Abb. 6

 

Abb. 7

Im Beispiel der Abbildung 8 mźssen sowohl die roten wie die blauen Teile teilweise gewendet werden.

Abb. 8

Im Beispiel der Abbildung 9 mźssen keine Teile gewendet werden.

Abb. 9

Das Beispiel der Abbildung 10 erinnert an die Legespiele von Fršbel (Abb. 11).

Abb. 10

Abb. 11: Fršbel-Stern

Bei den spiralfšrmigen Zerlegungen (Abb. 12, 13, 14) kšnnen die roten Teile als ganze Spirale źbernommen werden. Die blauen Teile mźssen anders angeordnet werden. Daher haben wir Zerlegungen mit unendlich vielen Teilen.

Abb. 12: Spiralen

Im Beispiel der Abbildung 13 sind die Spiralen zusammenhŠngend.

Abb. 13: Spiralen

In der Abbildung 14 ist das erforderliche Umlegen der nicht roten Teile mit einer zusŠtzlichen Farbe (gelb) angegeben.

Abb. 14: Spiralen

Die Abbildung 15 zeigt ein Beispiel mit 45ˇ-Rhomben.

Abb. 15: Rhomben

Die Beispiele 16 und 17 sind aus dem Beispiel 15 abgeleitet. Sie kommen mit nur drei Formen aus.

Abb. 16

Abb. 17

Das Beispiel 18 arbeitet ebenfalls mit 45ˇ-Rhomben. Zudem enthŠlt es silberne Rechtecke im Kleinformat.

Abb. 18: Rhomben

Die Beispiele 19 und 20 sind aus dem Beispiel 18 abgeleitet. Sie enthalten nur drei Formen.

Abb. 19

Abb. 20

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
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