Hans Walser, [20190808]

3d-Kreuz

1 Worum geht es?

Die Abbildung 1 zeigt ein 3d-Kreuz. Dieses ist aus sieben Würfeln zusammengesetzt.

Abb. 1: 3d-Keuz

Die Abbildung 2 zeigt zwei Flechtmodelle [2] von 3d-Kreuzen.

Abb. 2: Flechtmodelle

Das 3d-Kreuz ist ein Raumfüller. Der Raum kann lückenlos und überlappungsfrei mit 3d-Kreuzen ausgefüllt werden. Die Studie versucht, diesen Sachverhalt zu illustrieren.

Für die folgenden Überlegungen setzen wir die Kantenlänge auf eins.

2 2d-Kreuz

Wir holen Anlauf in der Ebene. Das 2d-Kreuz ist aus fünf Quadraten zusammengesetzt, hat also den Flächeninhalt 5. Mit 2d-Kreuzen kann die Ebene lückenlos und überlappungsfrei zugedeckt werden (Abb. 3).

Abb. 3: 2d-Kreuze

Ausgehend von einem (grauen) Ursprungskreuz gibt es zwei Vektoren u und v zu unmittelbar benachbarten Kreuzen. Diese beiden Vektoren sind:

(1)

Jedes weitere Kreuz ergibt sich durch eine Verschiebung des Ursprungskreuzes mit einer Linearkombination dieser beiden Vektoren.

Die beiden Vektoren haben beide die Länge . Für die Determinante der aus diesen beiden Vektoren bestehenden Matrix ergibt sich:

(2)

Das heißt, dass das durch diese beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm denselben Flächeninhalt 5 hat wie das 2d-Kreuz. In unserem Fall ist das Parallelogramm sogar ein Quadrat.

Dieses Quadrat mit den darin enthaltenen Kreuzteilen gibt Anlass zu einem Kreuzpuzzle [3].

Und nun in den Raum.

3 Vektoren und Matrix

Wir beginnen mit den drei Vektoren:

(3)

Die Abbildung 4 zeigt die drei Vektoren.

Abb. 4: Die drei Vektoren

Für die zugehörige Matrix erhalten wir die Determinante:

(4)

Der durch die drei Vektoren aufgespannte Spat (Abb. 5) hat also wie das 3d-Kreuz das Volumen 7.

Der Spat ist kein Würfel, sondern ein Rhombenhexaeder. Die Seitenrhomben haben die Kantenlänge (wie das Quadrat in Abb. 3) und die spitzen Winkel:

(5)

Bei den beiden grauen Punkten kommen drei stumpfe Winkel zusammen. Wegen

(6)

haben die beiden grauen Punkte den Abstand .

Abb. 5: Spat

Wir setzen nun in jedem der vier Punkte der Abbildung 4 ein 3d-Kreuz ein (Abb. 6). Der Punkt liegt jeweils im Zentrum des 3d-Kreuzes.

Abb. 6: Vier 3d-Kreuze

Die Abbildung 7 zeigt dasselbe als Flechtmodell (alle Kreuze mit gleicher Farbstruktur).

Abb. 7: Flechtmodell

Wir setzen nun in den restlichen Punkten des Spates der Abbildung 5 je ein Kreuz ein (Abbildungen 8.0 bis 8.3).

Abb. 8.0: Graues Kreuz

Abb. 8.1: Rotes Kreuz

Abb. 8.2: Grünes Kreuz

Abb. 8.3: Blaues Kreuz

Die acht 3d-Kreuze füllen das Innere des Spates lückenlos und überlappungsfrei. Da mit dem Spat seinerseits der Raum lückenlos und überlappungsfrei gefüllt werden kann, ist das nun auch mit 3d-Kreuzen möglich.

Websites

[1] Hans Walser: 3d-Kreuz

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/3/3d-Kreuz/3d-Kreuz.htm

[2] Hans Walser: Würfelwelten

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm

[3] Hans Walser: Kreuzpuzzle

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreuzpuzzle2/Kreuzpuzzle2.htm