1 Worum geht es?

Abwicklungen des 3d-Kreuzes.

2 Das 3d-Kreuz

Wir setzen einem Würfel auf jeder Seitenfläche einen weiteren Würfel an (Abb. 1). Das 3d-Kreuz besteht also insgesamt aus 7 Würfeln. Die Oberfläche besteht aus 30 Quadraten.

Abb. 1: 3d-Kreuz

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen Flechtmodelle des 3d-Kreuzes.

Abb. 2: Flechtmodell des 3d-Kreuzes

Abb. 3: Die Welt als 3d-Kreuz

Auf der Oberfläche des Modells der Abbildung 3 erscheint jeder Punkt der Erde fünf Mal. Das 3d-Kreuz ist aus Streifen gemäß [1] gebaut.

Die Abbildung 4 zeigt eine Iteration. Das Modell besteht aus 25 Würfeln. Die Oberfläche besteht aus 78 Quadraten.

Abb. 4: Iteration

3 Abwicklungen

Aus einer beliebigen Würfelabwicklung erhalten wir eine Abwicklung des 3d-Kreuzes, indem wir jedes Quadrat der Würfelabwicklung mit einem 2d-Kreuz aus fünf kleinen Quadraten versehen. Die Abbildung 5 zeigt ein Beispiel.

Abb. 5: Würfelabwicklung und Abwicklung des 3d-Kreuzes

Die Abbildung 6 zeigt exemplarisch zwei Modifikationen.

Abb. 6: Modifikationen

Der blau markierte Punkt im zweiten Beispiel der Abbildung 6 ist bemerkenswert. Das funktioniert nur, weil dieser Punkt zu einer nicht konvexen Ecke des 3d-Kreuzes gehört.

4 Eine interessante Abwicklung

Die Abbildung 7 zeigt zunächst die interessanteste Abwicklung des Würfels (vgl. [2]). Die Würfelabwicklung hat eine Schubspiegelsymmetrie, die zugehörige Achse ist blau eingezeichnet. In der Aufwicklung entsteht aus der Schubspiegelsymmetrie-Achse ein regelmäßiges Sechseck. Der blaue Streckenzug erfüllt eine Art Reflexionseigenschaft. Der Auftreffwinkel auf eine Würfelkante und der anschließende Abgangswinkel sind beide gleich groß, nämlich 45°.

Abb. 7: Würfelabwicklung und Würfelaufwicklung

Wir können diese Abwicklung verlängern auf 30 Quadrate (Abb. 8). Das ergibt, auch wenn man es zunächst nicht glaubt, eine Abwicklung des 3d-Kreuzes.

Abb. 8: Abwicklung des 3d-Kreuzes

In der Abbildung 9 ist der Verlauf der aufgewickelten Schubspiegelsymmetrie-Achse mit rotem Filzstift nachgezeichnet. Der 30-seitige Streckenzug erfüllt die gleiche Reflexionseigenschaft wie das regelmäßige Sechseck beim Würfel.

Abb. 9: Verlauf der Schubspiegelsymmetrie-Achse

Leider hat sich meine Hoffnung nicht erfüllt, dass eine entsprechend auf 78 Quadrate verlängerte Abwicklung auf das Modell der Abbildung 4 passt.

Websites

[1] Hans Walser: Würfelwelten

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm

[2] Hans Walser: Fahnenwürfel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fahnenwuerfel/Fahnenwuerfel.htm

[3] Hans Walser: Aufwickeln. Vortrag

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20190913-15/index.html