Hans Walser, [20191129]

2d-Kreisgelenk

1   Worum geht es?

Analog zum 3d-Kugelgelenk (z. B. Hźftgelenk, Schultergelenk) wird ein Gelenk studiert, das in der Ebene funktionieren soll. Also fźr Flatland (Abbott 1884).

Beispiele: Dudeney, Pythagoras

2   Das Gelenk

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die beiden Gelenkpartner. Der Gelenkpfanne entspricht ein Hohlkreissektor. Der Kugel entspricht ein Kreis, welcher auf einem Kreissektor sitzt.

Abb. 1: Gelenkpartner

Nebenbemerkung: Es entsteht eine optische TŠuschung. In der Abbildung 1 sind der Innenradius des roten Hohlkreissektors und der Radius des blauen Kreises gleich. Optisch erscheint der blaue Kreis grš§er.

Die Abbildung 2 zeigt das eingeklinkte Gelenk. In der Ebene (Flatland) ist der Vorgang des Einklinkens ohne Deformation mindestens eines der beiden Gelenkpartner nicht mšglich.

Abb. 2: Eingeklinktes Gelenk

Der Gelenkpfanne entspricht ein Hohlkreissektor mit einem Winkel . Der Kugel entspricht ein Kreis, welcher auf einem Kreissektor mit einem Winkel  sitzt (Abb. 3a). Daraus ergibt sich ein Schwenkbereich von  (Abb. 3b). Der Kreis kann auch auf einem Streifen aufsitzen (Abb. 4 und 5).

Abb. 3: Winkel und Schwenkbereich

Die Winkel  und  mźssen positiv sein. Ihre Grš§e hŠngt vom verwendeten Material und dem Spielraum zwischen Kreissektor und Kreis ab. Fźr die Abbildungen 1 bis 3 wurden beide Winkel 10ˇ gewŠhlt. In der Praxis ist das kaum realistisch.

3   Grš§erer Schwenkbereich

In vielen Anwendungen ist ein Schwenkbereich von 180ˇ oder mehr gewźnscht. Dies ist durch eine Gelenkkette erreichbar (Abb. 4).

Abb. 4: Gelenkkette

Die Animation1 illustriert die Gelenkkette der Abbildung 4.

Animation1.GIF

Nun gibt es Beispiele, wo eine Gelenkkette einen spitzen Winkel und seinen ErgŠnzungswinkel auf 180ˇ verbindet. Dies ist etwa beim Gelenkmodell nach Dudeney der Fall (Abb. 6).

Die Abbildung 5 zeigt exemplarisch die Gelenkkette fźr einen ungleichwinkligen Fall.

Abb. 5: Gelenkkette im ungleichwinkligen Fall

Animation2.GIF

Die Animation2 illustriert die Gelenkkette der Abbildung 5.

4   Beispiele

4.1  Dudeney

Die Abbildung 6 zeigt das Gelenkmodell nach Dudeney der Fall. Die Gelenkketten sind nur schematisch mit einem Kreislein markiert.

Abb. 6: Gelenkpositionen beim Gelenkmodell nach Dudeney

4.2  Pythagoras

Die Abbildungsfolge 7 zeigt eine Gelenkmodellfolge fźr den Beweis des Satzes von Pythagoras nach Eddy (Walser 2019).

 

 

 

Abb. 7: Satz des Pythagoras

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Die Animation3 illustriert den Sachverhalt der Abbildung 7.

5   Realisierung im 3d-Raum

SŠmtliche Teile aus Platten gleicher Dicke herausschneiden. Damit die Teile nicht in die dritte Dimension (die ăHšheŇ oder die z-Richtung) hinausfallen, oben und unten mit einer Plexiglasscheibe abschlie§en.

 

Literatur

Abbott, Edwin A. (1884): Flatland. A Romance of Many Dimensions. London: Seeley.

Walser, Hans (2019): Der Satz von Eddy. VSMP Bulletin. September 2019, No 141, S. 14-16.

 

Weblinks

 

Hans Walser: Eddy

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy2/Eddy2.htm

 

Hans Walser: Eddy

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy/Eddy.htm