Hans Walser

 

Magische Symmetrie

 

 

Graz, Tag der Mathematik

Do, 4. Februar 2021

 

Bei der Analyse magischer Quadrate ungerader SeitenlŠnge treten verschiedene Symmetrien auf. Umgekehrt ist fŸr die Konstruktion magischer Quadrate ein symmetrisches modulo-Rechnen problemadŠquat. Ebenso brauchen wir ein angepasstes symmetrisches Positionssystem.

Zwei magische Quadrate ungerader SeitenlŠnge kšnnen zu einem neuen magischen Quadrat zusammengesetzt werden.

 

1   Beispiel – und ein Puzzle

Die Abbildung 1a zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 3. Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen sind je 15.

Abb. 1: Magische Quadrate der SeitenlŠngen 3 und 11

Im Quadrat der Abbildung 1b sind alle geraden Zahlen von 2 bis 120 eingetragen.

 

Frage 1: Wie kann das Quadrat der Abbildung 1b mit den ungeraden Zahlen von 1 bis 121 zu einem magischen Quadrat ergŠnzt werden?

2   Symmetrien

Die Abbildung 2a zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 5.

Abb. 2: Magische Quadrate der SeitenlŠnge 5

 

 

Frage 2: Welche Symmetrie-Eigenschaften hat das magische Quadrat der Abbildung 2a?

 

 

Im magischen Quadrat der Abbildung 2a subtrahieren wir 13 von jeder Zahl. Dadurch entsteht ein neues magisches Quadrat (Abb. 2b). Seine Zahlen laufen symmetrisch von –12 bis +12, mit der Null in der Mitte. Diese sitzt auch in der Mitte des Quadrates. Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen sind null. Entgegengesetzt positionierte Zahlen sind entgegengesetzt gleich.

Die Abbildung 3 zeigt ein mit dem Faktor  unterhšht gezeichnetes Histogramm des magischen Quadrates der Abbildung 2b. Die Figur ist punktsymmetrisch.

Abb. 3: Histogramm

3   Konstruktion eines magischen Quadrates

Wir besprechen zunŠchst die Konstruktion exemplarisch fŸr die SeitenlŠnge 5 und verallgemeinern anschlie§end.

In einem 5×5-Raster tragen wir in der Diagonale von links unten nach rechts oben Nullen ein, und zwar jeweils in der rechten FeldhŠlfte (Abb. 4a), damit es in der linken FeldhŠlfte noch Platz fŸr einen zweiten Eintrag hat.

Abb. 4: Konstruktion, erster Schritt

In der anschlie§enden Nebendiagonale tragen wir Einsen ein. Dabei denken wir uns den rechten Bildrand mit dem linken identifiziert. Daher steht auch im ersten Feld links oben eine Eins. Analog tragen wir in der nŠchsten Nebendiagonale Zweien ein.

Nun kŠmen die Dreien an die Reihe. Statt dessen tragen wir  Zahlen –2 ein (Abb. 4b). Die BegrŸndung ist folgende: die Zahlen 3 und –2 sind kongruent modulo 5. Aus SymmetriegrŸnden nehmen wir die Zahl –2, weil sie nŠher an der Null liegt als die Drei. Entsprechend tragen wir schlie§lich statt den Vieren die Zahlen –1 ein.

Im Feld der Abbildung 4b ist jede Zeilen- und jede Spaltensumme null, weil in jeder Zeile und in jeder Spalte genau die Zahlen –2, –1, 0, 1, 2 vorkommen. Dasselbe gilt auch fŸr die Diagonale von links oben nach rechts unten. In der Diagonale von links unten nach rechts oben haben wir gemŠ§ Konstruktion lauter Nullen und daher die Summe null.

Symmetrisches modulo-Rechnen: Die Abbildung 5a zeigt den Funktionsgrafen bei der Ÿblichen Berechnung modulo 5 (nicht negativer Rest bei Division durch 5). Die Abbildung 5b zeigt die von uns verwendete Version (der Buchstabe ãsÒ deutet auf die symmetrische Version hin). Der Funktionsgraf ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Es ist exemplarisch , aber .

Abb. 5: modulo 5 – Verschiedene ReprŠsentanten

 

Frage 3: Wie kann mit Hilfe der Funktion  die Funktion  konstruiert werden?

 

 

Nun drehen wir die Zahlenanordnung der Abbildung 4b um den Mittelpunkt im Gegenuhrzeigersinn um 90¡ und setzen die gedrehten Zahlen vor die ursprŸnglichen. So erhalten wir Zahlenpaare gemŠ§ Abbildung 6a.

Abb. 6: Zahlenpaare und Linearkombination

In der Abbildung 6a sind sowohl fŸr die ersten Zahlen wie auch fŸr die zweiten Zahlen die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen null. Das gibt auch fŸr jede Linearkombination der beiden Zahlenanordnungen. Wir wŠhlen die folgende Linearkombination: zum FŸnffachen (fŸnf ist die SeitenlŠnge des Quadrates) der ersten Zahlen addieren wir die zweiten Zahlen. So erhalten wir etwa aus dem Zahlenpaar  die neue Zahl . Wir interpretieren also das Zahlenpaar als zweistellige Zahl im Positionssystem mit der Basis 5. Dabei kšnnen allerdings die Anzahlen der Einer wie auch die Anzahlen der FŸnfer negativ sein.

Aus den Zahlenpaaren der Abbildung 6a ergibt sich so das magische Quadrat der Abbildung 6b mit den Summen null. Das ist aber unser magisches Quadrat der Abbildung 2b. Wenn wir jetzt noch 13 addieren, ergibt sich das magische Quadrat mit den Zahlen von 1 bis 25 (Abb. 2a).

4   Verallgemeinerung

Wir konstruieren ein magisches Quadrat der ungeraden SeitenlŠnge .

Die Ÿbliche Indizierung der Elemente  einer quadratischen Matrix beginnt links oben mit  und endet rechts unten mit . Das ist fŸr uns unpassend. Wir verwenden statt dessen eine bezŸglich null symmetrische Indizierung gemŠ§ Abbildung 7a. Das Element  sitzt in der Mitte. Links oben haben wir das Element , rechts unten das Element .

Abb. 7: Indizierung und Koordinatensystem

Dazu passend fŸhren wir ein -Koordinatensystem ein gemŠ§ Abbildung 7b. Die Diagonale von links unten nach rechts oben hat darin die Gleichung , die dazu parallelen Nebendiagonalen die Gleichung . Die Diagonale von links oben nach rechts unten hat die Gleichung , die dazu parallelen Nebendiagonalen die Gleichung .

In dieser Schreibweise erhalten wir fŸr  gemŠ§ unserer Konstruktion die Formel:

 

 

 

 

 

Entsprechend gilt allgemein:

 

 

 

 

 

Bei dieser Formel haben wir die Null in der Mitte, und die Zahlen laufen von  bis . Wenn die Zahlen von 1 bis  laufen sollen, mŸssen wir noch  addieren.

 

 

Frage 4: Gesucht ist ein magisches Quadrat mit den Zahlen von 1 bis 49.

 

5   Ganze Zahlen ohne Minuszeichen

Wir hatten oben in einem Positionssystem mit der Basis 5 gearbeitet, aber auch negative Anzahlen der Einer oder der FŸnfer zugelassen. Dies fŸhrt zur Idee eines Positionssystems, in welchem die negativen ganzen Zahlen ohne sichtbares Minuszeichen darstellt werden kšnnen.

Wir legen fŸnf Symbole fŸr die einzelnen Ziffern fest. Um keine Verwirrung mit dem Ÿblichen Positionssystem zu schaffen, verwenden wir Buchstaben in folgender Bedeutung:

 

Ziffernsymbol

a

b

c

d

e

Bedeutung

–2

­1

0

1

2

 

Wir sehen, dass der Hund (die Minuszeichen) in den Symbolen begraben ist.

ZunŠchst zwei Beispiele.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wir kšnnen also die Zahl –2021 ohne sichtbares Minuszeichen darstellen.

 

 

Frage 5: Wie lautet ãdadÒ im Dezimalsystem?

 

 

Frage 6: Wie lautet ãbabbeÒ im Dezimalsystem?

 

 

Frage 7: Wie sieht die Dezimalzahl –753 in diesem System aus?

 

Nun rechnen wir die Zahlen des magischen Quadrates der Abbildungen 2b oder 6b in unser vorzeichenfreies System um (Abb. 8).

Abb. 8: Umrechnung

Es kommen in jeder Zeile und in jeder Spalte alle fŸnf Buchstaben sowohl vorne wie auch hinten genau einmal vor. Weiter kommt jede der 25 Paar-Kombinationen der fŸnf Buchstaben genau einmal vor.

Solche paarweise Anordnungen von Buchstaben wurden von Leonhard Euler (1707-1783) in [1] untersucht.

6   Zusammensetzung zweier magischer Quadrate

Mit zwei magischen Quadraten der SeitenlŠngen  und  kšnnen wir ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge  konstruieren. Wir zeigen dies exemplarisch mit den beiden magischen Quadraten der Abbildung 9. Diese haben die SeitenlŠngen 3 beziehungsweise 5. Ihre Zahlen laufen von 0 bis 8 beziehungsweise von 0 bis 24.

Abb. 9: Die beiden magischen Quadrate

In der Abbildung 10 sind die Felder der geraden Zahlen rot, die Felder der ungeraden Zahlen blau eingefŠrbt.

Abb. 10: ParitŠtische FŠrbung

Die Abbildung 11 zeigt die zugehšrigen Histogramme.

Abb. 11: Histogramme

Und nun machen wir folgendes: wir vergrš§ern das Histogramm der Abbildung 11a in den beiden horizontalen Dimensionen je mit dem Faktor 5 und in der vertikalen Richtung sogar mit dem Faktor 25. Damit erhalten wir die Figur der Abbildung 12a. Da sie, wie alle Histogramme in diesem Skript unterhšht gezeichnet ist, fŠllt die gro§e Streckung in vertikaler Richtung nicht ins Auge.

Abb. 12: Plattformen und Besiedlung der Plattformen

Wir erkennen in der Abbildung 12a neun 5×5-Plattformen. Wir kšnnen auf jeder dieser Plattformen ein Histogramm der Abbildung 11b setzen und erhalten damit das Histogramm der Abbildung 12b.

Die Abbildung 13 zeigt das zugehšrige magische Quadrat. Seine Zahlen laufen von 0 bis 224.

Abb. 13: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 15

Wir sehen am linken Rand in der Mitte das magische 5×5-Quadrat der Abbildung 9b. Es sitzt auf der Null des magischen 3×3-Quadrates der Abbildung 9a.

Die Abbildung 14 zeigt die paritŠtische FŠrbung.

Abb. 14: ParitŠtische FŠrbung

 

 

Frage 8: Liefern die Formeln im Abschnitt 4 fŸr  dasselbe magische Quadrat wie in der Abbildung 13?

 

 

Frage 9: Kšnnen wir bei der Zusammensetzung die Reihenfolge der beiden magischen Quadrate vertauschen?

 

7   Bearbeitung der Fragen

Bearbeitung der Frage 1: Die Abbildung 15a zeigt das vollstŠndige magische Quadrat.

 

Abb. 15: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 11. VerŠnderungen

Die Abbildung 15b illustriert, wie sich innerhalb des Bereiches der geraden Zahlen wie auch innerhalb des Bereiches der ungeraden Zahlen die Zahlen beim †bergang zu einem Nachbarfeld verŠndern. Dabei enthalten die VerŠnderungen entlang der fett eingezeichneten Pfeile die gesamte Information. Diese VerŠnderungen sind um eins grš§er beziehungsweise um eins kleiner als die SeitenlŠnge des magischen Quadrates.

Die Ÿbrigen VerŠnderungen ergeben sich durch lineare Kombination.

An der Grenze zwischen den geraden und den ungeraden Zahlen gelten andere VerŠnderungsregeln.

In der Abbildung 16 sind die Felder des magischen Quadrates mit geraden Zahlen rot, die Felder mit ungeraden Zahlen blau eingefŠrbt. Die Zahlen selber sind weggelassen.

Abb. 16: ParitŠtische FŠrbung

 

Bearbeitung der Frage 2: Die Zahlen laufen von 1 bis 25, der Median ist 13. Diese Zahl sitzt auch in der Mitte des Quadrates, ist also ein ãMedianÒ in doppeltem Sinn.

Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen sind je 65. Dies ist das FŸnffache des Medians in der Mitte. Hier spielt die SeitenlŠnge des magischen Quadrates hinein.

Zwei Zahlen, die bezŸglich des Medians in der Mitte punktsymmetrisch angeordnet sind (zum Beispiel die Zahlen 4 und 22) haben das arithmetische Mittel 13. Schon wieder die 13.

Die Felder der ungeraden Zahlen bilden ein auf der Spitze stehendes Quadrat (blau in Abb. 17).

Abb. 17: ParitŠtische FŠrbung

Die Abbildung 18 zeigt das zu diesem magischen Quadrat gehšrende Histogramm. Es ist in der Hšhe mit dem Faktor  gestaucht.

 

Abb. 18: Histogramm

 

Bearbeitung der Frage 3: Es ist:

 

 

 

Bearbeitung der Frage 4: Das magische Quadrat hat die SeitenlŠnge 7 (Abb. 19).

Abb. 19: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 7. ParitŠtische FŠrbung

 

Bearbeitung der Frage 5:

 

 

 

 

Bearbeitung der Frage 6:

 

 

 

 

Bearbeitung der Frage 7:

 

 

 

 

Bearbeitung der Frage 8: Nein. Die Abbildung 20a zeigt das entsprechende Histogramm. Es unterscheidet sich deutlich vom Histogramm der Abbildung 12b. Auch die FŠrbung (Abb. 20b) unterscheidet sich von derjenigen der Abbildung 14.

Abb. 20: Histogramm. ParitŠtische FŠrbung

Bearbeitung der Frage 9: Nochmals nein. Die Abbildung 21a zeigt das entsprechende Histogramm. Es unterscheidet sich deutlich vom Histogramm der Abbildung 12b. Auch die FŠrbung (Abb. 21b) unterscheidet sich von derjenigen der Abbildung 14.

Abb. 21: Histogramm. ParitŠtische FŠrbung

Die Zusammensetzung der magischen Quadrate ist nicht kommutativ.

 

 

Last modified: 29. Januar 2021

 

 

Literatur

 

Euler, Leonhard

[1]

Recherches sur une nouvelle espce de quarrŽs magiques, Vlissingen 1782 – Opera Omnia,  Series 1, Volume 7, p. 291-392. Enestršm Index 530.

 

Websites

Hans Walser: Magische Kreise

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Magische_Kreise/Magische_Kreise.htm

 

Hans Walser: Magische Quadrate quadrieren

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate2/Mag_Quadrate2.htm

 

Hans Walser: Magische Quadrate Ÿberlagern

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate4/Mag_Quadrate4.htm

 

Hans Walser: Magische Quadrate ungerader SeitenlŠnge

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate/Mag_Quadrate.htm

 

Hans Walser: Magische Puzzle

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Puzzle/Mag_Puzzle.htm

 

Hans Walser: Magisches Fraktal

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Magisches_Fraktal/Magisches_Fraktal.htm

 

Vortragsunterlagen

Hans Walser: Magische Symmetrie

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20210204/index.html