Hans Walser, [20181003]

Zylinder

1 Worum geht es?

Vereinigung und Durchschnitt von mehreren symmetrisch liegenden Zylindern. Die Zylinder haben endliche Höhen.

Eine Bildergalerie.

2 Drei Zylinder

Die Abbildung 1 zeigt drei paarweise orthogonale Zylinder. Sie orientieren sich an den Diagonalen eines Oktaeders.

Abb. 1: Drei Zylinder

Die Abbildung 2 zeigt ebenfalls die drei paarweise orthogonalen Zylinder. Der Zylinderdurchmesser ist gleich der Zylinderhöhe. Die Zylinderkanten berühren sich.

Abb. 2: Drei Zylinder

Die Abbildung 3 zeigt den Durchschnitt dieser drei Zylinder.

Abb. 3: Durchschnitt der drei Zylinder

Wir haben sozusagen 12 krumme Rhomben. Ein gekrümmtes Rhombendodekaeder also. Die Figur hat in den drei Blickrichtungen der Oktaederdiagonalen, also von vorne, von der Seite und von oben, je einen kreisförmigen Umriss.

Die Figur kann auch additiv gesehen werden: einem Würfel werden sechs Kreuzgewölbe auf gesetzt. Die Abbildung 4 zeigt den Würfel mit dem oben aufgesetzten Kreuzgewölbe.

Abb. 4: Würfel mit aufgesetztem Kreuzgewölbe

Die Abbildung 5 gibt die Sicht der Abbildung 3 von oben. Den grünen, senkrechten Zylinder der Abbildungen 1 bis 3 sehen wir jetzt projizierend, das heißt nicht mehr.

Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.

Abb. 5: Sicht von oben

In der Abbildung 6 ist der Zylinderradius um den Faktor vergrößert. Die Zylinderkanten schneiden sich, je drei in einem Punkt.

Abb. 6: Vergrößerter Radius

Der Durchschnitt dieser drei Zylinder ist ein Würfel (Abb. 7).

Abb. 7: Der Durchschnitt ist ein Würfel

3 Vier Zylinder

Die vier Zylinder der Abbildung 8 orientieren sich an den Raumdiagonalen eines Würfels. Die vier Raumdiagonalen des Würfels schneiden sich paarweise unter demselben spitzen Winkel, nämlich arccos(1/3), etwa 70.53°.

Abb. 8: Vier Zylinder als Würfeldiagonalen

In der Abbildung 9 berühren sich die Zylinderkanten.

Abb. 9: Vier Zylinder

Die Abbildung 10 zeigt den Durchschnitt der vier Zylinder. Wir haben 24 gekrümmte Drachenvierecke. Die Figur hat in den vier Blickrichtungen der Würfeldiagonalen einen kreisförmigen Umriss. Der Autor gesteht, dass es diese Figur war, um derentwillen er die vorliegende Studie gemacht hat.

Abb. 10: Durchschnitt der vier Zylinder

Die Figur besteht aus 12 einem Rhombendodekaeder aufgesetzten schiefwinkligen Kreuzgewölben. Die Abbildung 11 zeigt das Rhombendodekaeder mit einem aufgesetzten Kreuzgewölbe.

Abb. 11: Rhombendodekaeder mit aufgesetztem Kreuzgewölbe

Die Abbildung 12 zeigt die Sicht der Abbildung 10 längs einer Würfeldiagonale. Es ist in der Abbildung 8 die Würfeldiagonale mit dem grünen Zylinder, den wir jetzt projizierend sehen.

Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.

Abb. 12: Sicht längs einer Würfeldiagonalen

In der Abbildung 13 ist der Zylinderradius verdoppelt. Die Zylinderkanten schneiden sich.

Abb. 13: Verdoppelung des Radius

Als Durchschnitt ergibt sich ein Oktaeder (Abb. 14).

Abb. 14: Durchschnitt ein Oktaeder

4 Sechs Zylinder

Die sechs Zylinder der Abbildung 15 orientieren sich an den Raumdiagonalen durch den Mittelpunkt eines Ikosaeders. Die Raumdiagonalen schneiden sich paarweise unter demselben Winkel, nämlich arctan(2), also etwa 63.43°.

Abb. 15: Sechs Zylinder als Diagonalen im Ikosaeder

In der Abbildung 16 berühren sich die Zylinderkanten.

Abb. 16: Sechs Zylinder

Die Abbildung 17 zeigt den Durchschnitt der sechs Zylinder. Wir haben 60 gekrümmte Drachenvierecke.

Die Figur kann auch gesehen werden als Rhombentriakontaeder mit 30 aufgesetzten schiefen Kreuzgewölben.

Die Figur hat in den sechs Blickrichtungen der Ikosaederdiagonalen einen kreisförmigen Umriss.

Abb. 17: Durchschnitt der sechs Zylinder

In der Abbildung 18 sehen wir in Richtung der magenta Ikosaederdiagonalen der Abbildung 15.

Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.

Abb. 18: Sicht in Richtung einer Ikosaederdiagonalen

In der Abbildung 19 schneiden sich je drei Zylinderkanten.

Abb. 19: Je drei Zylinderkanten schneiden sich

Als Durchschnitt ergibt sich ein reguläres Dodekaeder (Abb. 20).

Abb. 20: Reguläres Dodekaeder

5 Zehn Zylinder

Die zehn Zylinder der Abbildung 21 orientieren sich an den Raumdiagonalen durch den Mittelpunkt eines Dodekaeders.

Die zehn Diagonalen schneiden sich nicht paarweise unter je dem gleichen Winkel. Es gibt Diagonalen, zum Beispiel rot und zyanfarben, die sich unter einem spitzen Winkel von arcsin(2/3), also etwa 41.81° schneiden, und solche, zum Beispiel rot und grün, die einen spitzen Schnittwinkel von arccos(1/3), etwa 70.53° haben (wie beim Würfel).

Abb. 21: Die zehn Mittelpunktdiagonalen des Dodekaeders

In der Abbildung 22 berühren sich die Zylinderkanten.

Abb. 22: Die Zylinderkanten berühren sich

Die Abbildung 23 zeigt den Durchschnitt der zehn Zylinder. Wir haben nun zwei verschiedene Vierecktypen.

Abb. 23: Durchschnitt der zehn Zylinder

Die Abbildung 24 gibt die Sicht längs der (hell-)roten Diagonale der Abbildung 21. Der Umriss der Figur ist in dieser Sicht ein Kreis.

Wer da eine Kugel sieht, sieht falsch.

Abb. 24: Spezielle Sicht. Umriss ein Kreis

Vergrößerung des Zylinderradius führt zum Ikosaeder (Abb. 25). Wer hätte das gedacht!

Abb. 25: Ikosaeder