Hans Walser, [20100221b]

Zykloide

1 Parameterdarstellung

Wir gehen aus von der Parameterdarstellung:

Zykloide

Der Einheitskreis rollt auf der Geraden im positiven Drehsinn hinauf. Die Zykloide ist symmetrisch zur x-Achse gezeichnet.

2 Längenberechnung

Aus der Parameterdarstellung erhalten wir:

Im Definitionsbereich können die Betragsstriche weggelassen werden. Für die Bogenlänge s ergibt sich:

Für den Definitionsbereich ergibt sich der Wertebereich .

Kurvenlänge

Wir sehen, dass der Zykloidenbogen die Länge 8 hat.

3 Natürlicher Parameter

Wir parametrisieren die Zykloide mit der eigenen Bogenlänge. Aus erhalten wir:

Eingesetzt in die Parameterdarstellung ergibt die Parameterdarstellung im natürlichen Parameter s:

4 Richtung und Krümmung

In natürlichen Parametern lassen sich Richtung und Krümmung sehr einfach berechnen.

Für die Ableitung nach s verwenden wir das Strich-Symbol.

Daraus ergibt sich , was den natürlichen Parameter charakterisiert.

4.1 Richtung

Für den Richtungswinkel der Zykloide ergibt sich aus dem Tangentialvektor :

Der Richtungswinkel dreht von 0 auf π, was sich ja auch aus der Zykloidenfigur ergibt.

Richtungswinkel

4.2 Bezug zum ursprünglichen Parameter t

Aus und ergibt sich:

4.3 Krümmung

Die Krümmung ist die Richtungsänderung relativ zum Kurvenfortschritt, also:

Andererseits ist:

Daraus ergibt sich:

Das ist offensichtlich die Krümmung. Allgemein ist bei natürlichen Parametern . In unserem Beispiel ist die Krümmung positiv.

5 Radlinien

Die Zykloide ist selber eine Radlinie. Wir lassen nun zusätzlich auf der Zykloide ein Rad mit dem Radius oder einem Bruchteil davon abrollen. Der Radius ist so gewählt, dass es „aufgeht“.

5.1 Radlinie rechts

5.1.1 Ein Bogen

Wir wählen . Das Rad macht einen Umlauf, es gibt einen Bogen.

Es sei der um gedrehte Vektor , also:

Dieser Vektor weist auf die linke Seite der Zykloide. Somit beschreibt den Weg des Mittelpunktes des auf der rechten Seite der Zykloide abrollenden Rades. Um den Weg eines Punktes auf der Peripherie des Rades zu verfolgen, brauchen wir noch den Drehwinkel des Rades. Bei Abrollen auf einer Geraden ist , wobei eine additive Justierkonstante ist. Bei Abrollen auf einer gekrümmten Kurve kommt aber noch die Krümmung, also die Veränderung der Kurvenrichtung dazu:

Am Anfang, also bei , muss der Drehwinkel sein, wenn wir den Weg des anfänglichen Berührungspunktes des Rades mit der Zykloide als Radlinie haben möchten. Daraus ergibt sich.

Somit ist:

Somit erhalten wir für die Radlinie die Parameterdarstellung im Parameter s:

Radlinie rechts auf der Zykloide

Der Parameter s ist aber nicht die Bogenlänge der Radlinie. Diese ist ja länger als die Zykloide. Numerisch ergibt sich:

Leider konnte meine Software das Längenintegral nicht exakt lösen.

5.1.2 Mehrere Bogen

Wir wählen , es gibt also m Bogen. Die Abbildung zeigt den Fall .

Sechs Bogen

Die einzelnen Bögen sind unterschiedlich lang:

Bogenlänge rechts [1] = 1.87939424

Bogenlänge rechts [2] = 1.802403437

Bogenlänge rechts [3] = 1.789264826

Bogenlänge rechts [4] = 1.789264826

Bogenlänge rechts [5] = 1.802403437

Bogenlänge rechts [6] = 1.87939424

Für die Gesamtlänge erhalten wir:

Summe der Bogenlängen rechts = 10.94212501 = 68.75139907/(2*PI)

Für erhalten wir:

Summe der Bogenlängen rechts = 10.23547712 = 64.31139947/(2*PI)

Für ergibt sich:

Summe der Bogenlängen rechts = 10.19096602 = 64.03172794/(2*PI)

Vermutlich gilt:

5.2 Radlinie links

Analog können wir für Radlinien links vorgehen. Das Rad dreht nun im negativen Drehsinn.

5.2.1 Ein Bogen

Wir wählen wiederum . Es ist:

Die Abbildung zeigt beide Radlinien.

Beide Radlinien auf der Zykloide

Numerisch ergibt sich:

So weit so gut. Die Sache hat allerdings einen Haken. Die Zykloidenkrümmung

wird für beliebig groß, das heißt, dass die Zykloide gegen die Enden zu beliebig stark gekrümmt ist und sicher einmal stärker als der abrollende Kreis. Auf der linken Seite der Zykloide kann also der abrollende Kreis die Zykloide nicht ganz ausfahren. Man muss sich da von der mechanischen Vorstellung des Abrollens lösen.