Hans Walser, [20100128a], [20150109]

Zweierpotenzen

Anregung: J. G., E.

1        Worum geht es?

Zweierpotenzen sind nur durch Zweierpotenzen teilbar. Eine Teilbarkeit durch zum Beispiel drei ist wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mšglich. Wie steht es nun aber mit Summen von Zweierpotenzen?

2        Beispiele

Die Summe zweier aufeinander folgender Zweierpotenzen ist immer durch drei teilbar.

Beispiele:

 

 

Die Summe dreier aufeinander folgender Zweierpotenzen ist immer durch sieben teilbar.

Beispiele:

 

 

 

Die Summe zweier mittelbar aufeinander folgender Zweierpotenzen (dazwischen wird eine Zweierpotenz źbersprungen) ist immer durch fźnf teilbar.

Beispiele:

 

 

Was steckt dahinter?

3        Teilbarkeit durch eine vorgegebene Zahl

Wir wollen exemplarisch zeigen, wie durch eine systematische Kombination von Zweierpotenzen die Teilbarkeit durch 11 erreichbar ist.

Dazu verwenden wir die BinŠrdarstellung (aha) der Zahl elf:

 

Wir schreiben dies nun in umgekehrter Reihenfolge und multiplizieren mit einer beliebigen Zweierpotenz :

 

Somit ist eine Summe, bestehend aus einer beliebigen Zweierpotenz, der Nachfolgerin sowie deren źbernŠchster Nachfolgerin immer durch elf teilbar. Der andere Faktor ist die Start-Zweierpotenz.

Die Einsen in der BinŠrdarstellung geben also an, welche aufeinander folgende Zweierpotenzen zu addieren sind. Dabei muss ăhintenŇ, also bei den Einern, begonnen werden.

Wir kšnnen also Teilbarkeit durch eine beliebige vorgegeben Zahl erreichen.

Wie steht es, wenn wir mit Differenzen von Zweierpotenzen arbeiten?