Hans Walser, [20110420a]

Zwei Quadrate

Wir setzen zwei Quadrate neben einander und zeichnen dann geeignete Geraden. Es entstehen ein Schnittpunkt von drei Geraden sowie ein rechtwinkliges Dreieck. Schlie§lich kommen auch Umkreise ins Spiel.

Die Beweise kšnnen mit elementaren Mitteln gefźhrt werden. Beweisškonomisch ist es zwar sinnvoll (und einfacher), gleich die allgemeinen FŠlle (Abschnitt 6) anzugehen. Im Sinne einer Kompetenzkumulation empfiehlt es sich aber, die Beispiele Schritt fźr Schritt zu beweisen.

1        Die beiden Quadrate

Zu zwei festen Punkten A und B zeichnen wir die zugehšrige Gerade und wŠhlen darauf einen Punkt D. Dann ergŠnzen wir zu den beiden Quadraten ADSQ und DBPR (Abbildung 1).

Abb. 1: Die beiden Quadrate

Falls D au§erhalb der Strecke AB gewŠhlt wird, zeichnen wir die beiden Quadrate konsistent orientiert. Die Abbildung 2 zeigt eine solche Situation.

Abb. 2: D au§erhalb der Strecke AB

2        Ein Schnittpunkt

Die drei Geraden AP, BQ und RS sind kopunktal (Abb. 3). Das hei§t, dass die drei Geraden durch denselben Punkt verlaufen. Diesen Schnittpunkt nennen wir T. Wer findet den einfachsten Beweis?

Abb. 3: Drei kopunktale Geraden

3        Eine Parabel

Nun lassen wir A und B fest, variieren aber den Punkt D auf der Geraden AB. Dann beschreibt der Punkt T eine Parabel (Abb. 4).

Abb. 4: Parabel

4        Noch ein Schnittpunkt

Die Geraden AR und BS sowie der Thaleskreis źber der Strecke AB sind kopunktal (Abb. 5). Den Schnittpunkt nennen wir C.

Abb. 5: Noch ein Schnittpunkt

Wir erhalten also ein rechtwinkliges Dreieck ABC. †ber AktivitŠten im rechtwinkligen Dreieck siehe [Mźller-Sommer 2008].


5        Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierenden des rechten Winkels bei C verlaufen durch D beziehungsweise P und Q (Abb. 6).

Abb. 6: Winkelhalbierende

Das hei§t, dass der Punkt C auch auf den Umkreisen der beiden Quadrate liegt (Abb. 7).

Abb. 7: Zwei Umkreise und ein Thaleskreis

6        Verallgemeinerungen

Verallgemeinerung durch VerwŠsserung (George P—lya)

Abb. 8: Dreieck mit aufgesetzten Quadraten

Abb. 9: Vier Geraden unter Winkeln von 45ˇ

Abb. 10: Drei Kreise durch einen Punkt

Abb. 11: Sieben auf einen Punkt

Vgl. [Walser 2004], S. 163f.

Abb. 12: Beweistipp

Literatur

[Mźller-Sommer 2008] Mźller-Sommer, Hartmut: Das Baustoff-Bauplan-Prinzip. Praxis der Mathematik in der Schule, PM 50 (2008/19) S. 27-32.

[Walser 2004]               Walser, Hans: 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-10-2