Hans Walser, [20180916]

Zwei Folgen von Dreiecken

Idee und Anregung: Eigenmann 1982, S. 8, Aufg. 38

1     Die Aufgabe

Einem beliebigen Dreieck (in Abb. 1 blau, links) werden flŠchengleiche Dreiecke angefŸgt.

           

Abb. 1: AnfŸgen flŠchengleicher Dreiecke

Wie geht es weiter?

Nach einer geeigneten Standardisierung erscheinen die Binomialkoeffizienten. Im Grenzfall erhalten wir eine Rektifizierung des Kreisumfanges, in realen Beispielen also eine Approximation des Kreisumfanges.

2     Standardisierung und Bezeichnungen

Da LŠngen- und FlŠchenverhŠltnisse affin invariant sind, beschrŠnken wir uns auf eine standardisierte Darstellung (Abb. 2).

Abb. 2: Standardisierte Darstellung

Das Startdreieck ist rechtwinklig gleichschenklig mit der KathetenlŠnge 1. Mit den Bezeichnungen der Abbildung 2 ist also:

 

                                                                                                                               (1)

 

 

Weiter definieren wir:

 

                                              und                                        (2)

 

 

Da jedes Teildreieck den FlŠcheninhalt  hat, ist:

 

                                                     und                                                (3)

 

 

3     Rekursion

Mit (1) bis (3) erhalten wir einen rekursiven Formelsatz wie folgt.

Startwerte:

 

                                                                                 (4)

 

 

Rekursion fŸr n ³ 1:

 

                                                                                                                (5)

 

 

 

 

Die Tabelle 1 gibt die ersten sechs Werte. Der Autor entschuldigt sich fŸr die nicht elegante Darstellung der BrŸche.

 

n

an

An

bn

Bn

1

1

2

1

1

2

2/3

8/3

1/2

3/2

3

8/15

16/5

3/8

15/8

4

16/35

128/35

5/16

35/16

5

128/315

256/63

35/128

315/128

6

256/693

1024/231

63/256

693/256

Tab. 1: Erste Werte

4     Explizite Formeln

Wir sehen ZusammenhŠnge in der Tabelle 1. Es ist zunŠchst:

 

                                                                                                                       (6)

 

 

                                                                                                                   (7)

 

 

                                                                                                                           (8)

 

 

Die Formel (8) folgt aus (3).

Wir kšnnen also alle Folgenglieder durch an ausdrŸcken.

DafŸr finden wir nach einigem Knobeln die explizite Formel:

 

                                                                                                                     (9)

 

 

 

Hier erscheinen die Binomialkoeffizienten.

Die Formeln (6), (7) und (9) sind lediglich Vermutungen.

Sie wurden verifiziert fŸr n = 1, ... , 1000.

Wer Lust hat, kann sich mit einem Induktionsbeweis versuchen.

5     Formkonvergenz

Die Summen An und Bn sind die KathetenlŠngen der Gesamtfigur nach n Doppelschritten (vgl. Abb. 2 fŸr n = 3). Die Frage ist, welche Form die Gesamtfigur fŸr  annimmt.

FŸr das KathetenverhŠltnis erhalten wir aus (6) und (8):

 

                                                                                                               (10)

 

 

 

 

Die Tabelle 2 zeigt einige Werte:

 

n

KathetenverhŠltnis

1

2

10

1.610544498

100

1.574728214

1000

1.571189075

10000

1.570835597

100000

1.570800254

Tab. 2: KathetenverhŠltnis

Ein Vergleich mit  fŸhrt zur Vermutung:

 

                                                                                                                (11)

 

 

 

 

Diese Vermutung ist richtig. Beweis mit CAS. Unsere Dreiecke geben also eine Approximation fŸr den Kreisumfang (Abb. 3).

Abb. 3: Die BogenlŠnge wird durch die lange Kathete approximiert

 

Literatur

Eigenmann, Paul (1982): Geometrische Denkaufgaben. Zug: Klett und Balmer. 1982. ISBN 3-264-72231-3.