Hans Walser, [20180916]
Zwei Folgen von Dreiecken
Idee und Anregung: Eigenmann 1982, S. 8, Aufg. 38
Einem beliebigen Dreieck (in Abb. 1 blau, links) werden flŠchengleiche Dreiecke angefŸgt.
Abb. 1: AnfŸgen flŠchengleicher Dreiecke
Wie geht es weiter?
Nach einer geeigneten Standardisierung erscheinen die Binomialkoeffizienten. Im Grenzfall erhalten wir eine Rektifizierung des Kreisumfanges, in realen Beispielen also eine Approximation des Kreisumfanges.
Da LŠngen- und FlŠchenverhŠltnisse affin invariant sind, beschrŠnken wir uns auf eine standardisierte Darstellung (Abb. 2).
Abb. 2: Standardisierte Darstellung
Das Startdreieck ist rechtwinklig gleichschenklig mit der KathetenlŠnge 1. Mit den Bezeichnungen der Abbildung 2 ist also:
(1)
Weiter definieren wir:
und (2)
Da jedes Teildreieck den FlŠcheninhalt hat, ist:
und (3)
Mit (1) bis (3) erhalten wir einen rekursiven Formelsatz wie folgt.
Startwerte:
(4)
Rekursion fŸr n ³ 1:
(5)
Die Tabelle 1 gibt die ersten sechs Werte. Der Autor entschuldigt sich fŸr die nicht elegante Darstellung der BrŸche.
n |
an |
An |
bn |
Bn |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2/3 |
8/3 |
1/2 |
3/2 |
3 |
8/15 |
16/5 |
3/8 |
15/8 |
4 |
16/35 |
128/35 |
5/16 |
35/16 |
5 |
128/315 |
256/63 |
35/128 |
315/128 |
6 |
256/693 |
1024/231 |
63/256 |
693/256 |
Tab. 1: Erste Werte
Wir sehen ZusammenhŠnge in der Tabelle 1. Es ist zunŠchst:
(6)
(7)
(8)
Die Formel (8) folgt aus (3).
Wir kšnnen also alle Folgenglieder durch an ausdrŸcken.
DafŸr finden wir nach einigem Knobeln die explizite Formel:
(9)
Hier erscheinen die Binomialkoeffizienten.
Die Formeln (6), (7) und (9) sind lediglich Vermutungen.
Sie wurden verifiziert fŸr n = 1, ... , 1000.
Wer Lust hat, kann sich mit einem Induktionsbeweis versuchen.
Die Summen An und Bn sind die KathetenlŠngen der Gesamtfigur nach n Doppelschritten (vgl. Abb. 2 fŸr n = 3). Die Frage ist, welche Form die Gesamtfigur fŸr annimmt.
FŸr das KathetenverhŠltnis erhalten wir aus (6) und (8):
(10)
Die Tabelle 2 zeigt einige Werte:
n |
KathetenverhŠltnis |
1 |
2 |
10 |
1.610544498 |
100 |
1.574728214 |
1000 |
1.571189075 |
10000 |
1.570835597 |
100000 |
1.570800254 |
Tab. 2: KathetenverhŠltnis
Ein Vergleich mit fŸhrt zur Vermutung:
(11)
Diese Vermutung ist richtig. Beweis mit CAS. Unsere Dreiecke geben also eine Approximation fŸr den Kreisumfang (Abb. 3).
Abb. 3: Die BogenlŠnge wird durch die lange Kathete approximiert
Literatur
Eigenmann, Paul (1982): Geometrische Denkaufgaben. Zug: Klett und Balmer. 1982. ISBN 3-264-72231-3.