1 Worum geht es?

Die Grundidee der Winkeldrittelung nach Archimedes oder Bolyai führt zu einem Schließungssatz in der Elementargeometrie.

2 Der Zick-Zack im Winkel

In einem beliebigen Winkel tragen wir vom Scheitel ausgehend im Zick-Zack dieselbe Streckenlänge ab (Abb. 1).

Abb. 1: Zick-Zack im Winkelfeld

Wir erhalten dann der Reihe nach die Winkel . Der Beweis ergibt sich aus den in der Abbildung 1 eingetragenen gleichschenkligen Dreiecken. Die Ergänzung des Spitzenwinkels auf 180° ist jeweils die Summe der beiden Basiswinkel.

Der Sachverhalt wird ausgenützt in den Winkeldrittelungsmethoden von Archimedes und von Bolyai ([1] Abb. 5). Das mechanische Gerät ([1] Abb. 6) kann entsprechend verallgemeinert werden für die Winkelteilung in n Teile.

3 Schließungssatz

Wir nehmen nun an, dass wir beim Abtragen des Zick-Zackes nach einer ungeraden Anzahl Schritten zum Scheitel zurückkommen (Abb. 2 für u = 7).

Abb. 2: Zurück nach sieben Schritten

Im grün markierten gleichschenkligen Dreieck der Abbildung 2 haben wir die Außenwinkel . Somit haben wir die Außenwinkelsumme . Da die Außenwinkelsumme in einem einfach geschlossenen Polygon 360° ausmacht (eine wunderschöne Invariante, die leider im LP21 nicht vorkommt), ergibt sich:

(1)

Dieser Winkel ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Hingegen kann der Winkel mit einem Gleitgelenkmodell konstruiert werden [2].

Allgemein ergibt sich für eine Schließungsfigur mit u Schritten (Fehlmann 2019).

Literatur

Fehlmann, René (2019): Ein Zick-Zack-Streckenzug im gleichschenkligen Dreieck. VSMP Bulletin, September 2019, No 141, S. 10-13.

Walser, Hans (1988): Ein Schliessungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 161-169.

Websites

[1] Hans Walser: Winkeldrittelung nach Archimedes und nach Bolyai

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung_Arc_Bol/Winkeldrittelung_Arc_Bol.htm

[2] Hans Walser: Gleitgelenkmodelle

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleitgelenkmodelle/Gleitgelenkmodelle.htm