Hans Walser, [20150122]
x^y=x*y
Anregung: J. A., B.
Gesucht sind Lšsungen der Gleichung:
Triviale Lšsungen sind und . Eine nichttriviale Lšsung ist .
Die Abbildung 1a zeigt die FlŠche , die Abbildung 1b die FlŠche .
Abb. 1: FlŠchendarstellung
Die Abbildung 2 zeigt die Schnittkurven der beiden FlŠchen in allgemeiner und spezieller Sicht.
Abb. 2: Schnittkurven
Die Abbildung 3 zeigt einen implicitplot fŸr die Lšsungen der Gleichung .
Abb. 3: Implicitplot
Wir sehen die trivialen Lšsungen und eine interessante Kurve.
Die Kurve geht durch den Punkt (e, 1) und hat dort die Steigung (Abb. 4). Ferner hat sie die x-Achse als Asymptote sowie die Gerade x = 1. Weiter verlŠuft sie durch die schon gefundene nichttriviale Lšsung (2, 2) sowie durch .
Abb. 4: Experimentelle Kurvendiskussion
FŸr die interessante Kurve ist . Wir kšnnen daher unsere Gleichung umformen wir folgt:
Damit kšnnen wir unsere Kurve als Funktionsgraf einer Funktion von y sehen (bisschen ungewohnt, Abb. 5).
Abb. 5: Die interessante Kurve
Eigentlich ist die Funktion fŸr nicht definiert. Mit Bernoulli-de lÕH™pital kann die LŸcke behoben werden:
Nebenrechnung:
Somit ist:
Das hatten wir ja auch schon experimentell herausgefunden.
Analog kšnnen wir die Steigung in diesem Punkt berechnen. ZunŠchst ist (wir mŸssen nach y ableiten):
Weiter ist:
Nebenrechnung:
Daher:
Das ist der Kehrwert von unserem experimentell gefundenen Wert. Das muss aber so sein, weil nun die Steigung auf die y-Achse bezogen ist.
Die Abbildung 6 zeigt die Situation im Einheitsraster. ZusŠtzlich ist noch der Funktionsgraf des natŸrlichen Logarithmus eingetragen.
Abb. 6: Im Einheitsraster