Hans Walser, [20150122]

x^y=x*y

Anregung: J. A., B.

1     Worum es geht

Gesucht sind Lšsungen der Gleichung:

 

Triviale Lšsungen sind  und . Eine nichttriviale Lšsung ist .

2     FlŠchen im Raum

Die Abbildung 1a zeigt die FlŠche , die Abbildung 1b die FlŠche .

 

Abb. 1: FlŠchendarstellung

 

Die Abbildung 2 zeigt die Schnittkurven der beiden FlŠchen in allgemeiner und spezieller Sicht.

 

Abb. 2: Schnittkurven

 

3     Implicitplot

Die Abbildung 3 zeigt einen implicitplot fŸr die Lšsungen der Gleichung .

 

Abb. 3: Implicitplot

 

Wir sehen die trivialen Lšsungen und eine interessante Kurve.

4     Experimentelle Kurvendiskussion

Die Kurve geht durch den Punkt (e, 1) und hat dort die Steigung  (Abb. 4). Ferner hat sie die x-Achse als Asymptote sowie die Gerade x = 1. Weiter verlŠuft sie durch die schon gefundene nichttriviale Lšsung (2, 2) sowie durch .

 

Abb. 4: Experimentelle Kurvendiskussion

 

5     Analytische Kurvendiskussion

FŸr die interessante Kurve ist . Wir kšnnen daher unsere Gleichung  umformen wir folgt:

 

 

 

Damit kšnnen wir unsere Kurve als Funktionsgraf einer Funktion von y sehen (bisschen ungewohnt, Abb. 5).

 

Abb. 5: Die interessante Kurve

 

Eigentlich ist die Funktion fŸr  nicht definiert. Mit Bernoulli-de lÕH™pital kann die LŸcke behoben werden:

 

 

Nebenrechnung:

 

 

Somit ist:

 

 

Das hatten wir ja auch schon experimentell herausgefunden.

Analog kšnnen wir die Steigung in diesem Punkt berechnen. ZunŠchst ist (wir mŸssen nach y ableiten):

 

 

 

Weiter ist:

 

 

Nebenrechnung:

 

 

Daher:

 

 

Das ist der Kehrwert von unserem experimentell gefundenen Wert. Das muss aber so sein, weil nun die Steigung auf die y-Achse bezogen ist.

Die Abbildung 6 zeigt die Situation im Einheitsraster. ZusŠtzlich ist noch der Funktionsgraf des natŸrlichen Logarithmus eingetragen.

 

Abb. 6: Im Einheitsraster