Hans Walser, [20170827], [20201128]
Xaviers Satz
Idee und Anregung: Jundt 2017.
Illustration des Satzes von Xavier mit Spiralen.
In einer Kugel wŠhlen wir symmetrisch zum Mittelpunkt zwei gelbe horizontale Schnittkreise (Abb. 1a). Die geografische Breite der Schnittkreise ist beliebig, im Beispiel der Abbildung 1 wurde ±30¡ gewŠhlt.
Abb. 1: Schnittkreise in der Kugel
Nun zeichnen wir zwei rote vertikale Schnittkreise, welche die gelben horizontalen Kreise berŸhren (Abb. 1b).
In dieser Situation gilt der Satz von Xavier:
Die FlŠchensumme der vier Schnittkreise ist doppelt so gro§ wie die QuerschnittsflŠche der Kugel und halb so gro§ wie die OberflŠche der Kugel.
Der rechnerische Beweis verwendet den Satz des Pythagoras.
Wir approximieren die Kreisscheiben durch aufgewickelte Seile, also durch Spiralen.
Die Abbildung 2a zeigt eine einzelne solche Doppelspirale. Sie ist in der einen Ebene auf- und in der anderen Ebene abgewickelt.
Die Abbildung 2b zeigt alle vier benštigten Spiralen. Es sind in jeder Ebene je zwei Spiralen ineinander gewickelt.
Abb. 2: Doppelspiralen
In der Animation 1 sehen wir das simultane Auf- und Abwickeln. Da immer gleich viel auf- wie abgewickelt wird, ist die FlŠchensumme der vier Kreisscheiben invariant. Aus dem Sonderfall der Doppelscheibe in der €quatorebene ergibt sich der Vergleich mit der QuerschnittsflŠche der Kugel.
Animation 1: Auf- und Abwickeln
Die Animation 2 zeigt das Verhalten einer einzelnen Doppelspirale. Das Kugelgitter ist weggelassen.
Animation 2: Rote Doppelspirale
In der Animation 3 sehen wir alle vier Doppelspiralen.
Animation 3: Alle vier Doppelspiralen
Die Animationen 4, 5, 6 zeigen spezielle Sichten.
Animation 4: Sicht von vorne
Animation 5: Sicht von der Seite
Animation 6: Sicht von oben
In der Animation 7 gehtÕs drunter und drŸber.
Animation 7: Variable Sicht
Literatur
Jundt, Werner (2017): ãXaviers SatzÒ und der Pythagoras. Forschend lernen — forschen lernen. mathematik lehren 201 | 2017, 32-35.
Website
Hans Walser: Aufwickel-Pythagoras
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Aufwickel-Pythagoras3/Aufwickel-Pythagoras3.htm