Hans Walser, [20130828]
Wurzelspirale
1 Worum geht es?
Kreis-Spielereien in der Wurzelspirale.
2 Die Wurzelspirale
Die Abbildung 1 zeigt die so genannte Wurzelspirale.
Abb. 1: Wurzelspirale
Die rechtwinkligen
Dreiecke haben die kurze Kathete 1 und die langen Katheten der Reihe nach 
.
Wird die Wurzelspirale fortgesetzt, nŠhert sie sich einer archimedischen Spirale an (Abb. 2).
Abb. 2: AnnŠherung an archimedische Spirale
3 FlŠchengleiche Kreisringe
Die Kreisringe in der Abbildung 3 haben alle denselben FlŠcheninhalt ¹. Beweis durch Nachrechnen.
Abb. 3: FlŠchengleiche Ringe
Die Abbildung 4 zeigt eine grafische Variante.
Abb. 4: Variante
4 Gleich breite Ringe
Die Ringe der Abbildung 5 sind alle gleich breit.
Abb. 5: Gleich breite Ringe
Die blau eingezeichneten Radien gehšren zu den Dreiecknummern 1, 4, 9, 16, ... , also zu den Quadratzahlen. Die Winkel (im Bogenma§) zwischen den blau eingezeichneten Radien nŠhern sich dem Wert 2 an (Peter Gallin, ZŸrich).
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte.
|
n |
Zwischenwinkel |
|
n |
Zwischenwinkel |
|
1 |
— |
|
441 |
1.99722800 |
|
4 |
1.602726094 |
|
484 |
1.99747954 |
|
9 |
1.831085609 |
|
529 |
1.99769835 |
|
16 |
1.909521135 |
|
576 |
1.99788982 |
|
25 |
1.944147856 |
|
625 |
1.99805842 |
|
36 |
1.962225873 |
|
676 |
1.99820754 |
|
49 |
1.97279449 |
|
729 |
1.99834013 |
|
64 |
1.97948979 |
|
784 |
1.99845860 |
|
81 |
1.98399226 |
|
841 |
1.99856476 |
|
100 |
1.98716267 |
|
900 |
1.99866032 |
|
121 |
1.98947818 |
|
961 |
1.99874668 |
|
144 |
1.99122016 |
|
1024 |
1.99882496 |
|
169 |
1.99256330 |
|
1089 |
1.99889614 |
|
196 |
1.99362059 |
|
1156 |
1.99896102 |
|
225 |
1.99446760 |
|
1225 |
1.99902036 |
|
256 |
1.99515664 |
|
1296 |
1.99907470 |
|
289 |
1.99572461 |
|
1369 |
1.99912469 |
|
324 |
1.99619831 |
|
1444 |
1.99917075 |
|
361 |
1.99659744 |
|
1521 |
1.99921324 |
|
400 |
1.99693691 |
|
1600 |
1.99925259 |
Tab. 1: Zwischenwinkel