Hans Walser, [20090509a]

Wurzeln aus Matrizen

1 Worum es geht

Zu einer gegebenen 2,2-Matrix A suchen wir 2,2-Matrizen B mit der Eigenschaft: . Wir suchen also Quadratwurzeln der Matrix A.

2 Quadrieren

Wenn wir eine quadratische 2,2-Matrix B mit den Eigenwerten und Eigenvektoren quadrieren, erhalten wir eine Matrix mit denselben Eigenvektoren und den Eigenwerten .

Beweis: Aus ergibt sich: .

3 Quadratwurzeln

Wir gehen davon aus, dass die Matrix A zwei verschiedene Eigenwerte und hat. (Der Fall ist recht kompliziert.) Dazu gehören die Eigenvektoren und . Um eine Matrix B mit zu finden, bestimmen wir deren Eigenwerte aus . Man beachte, dass es hier vier verschiedene Vorzeichenkombinationen geben kann. Dann bestimmen wir B aus den Eigenwerten und den Eigenvektoren .

4 Beispiel

Wir bearbeiten die Matrix A:

4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A

Die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte ist . Daraus erhalten wir und damit die Eigenwerte und . Zum Eigenwert muss ein Eigenvektor die folgende Bedingung erfüllen:

Eine mögliche Lösung ist:

Analog finden wir für eine mögliche Lösung:

4.2 Wurzelmatrix

Die gesuchte Wurzelmatrix B hat also die Eigenwerte und . Es gibt vier Vorzeichenkombinationen. Wir bearbeiten exemplarisch den Fall plus-plus, also und . Die Eigenvektoren sind dieselben wie die der Matrix A.

4.2.1 Erster Lösungsweg

Für die Matrix B machen wir den Ansatz:

Damit muss gelten: und .

und

Für das Gleichungssystem

ergibt sich die Lösung: , also die Matrix B:

4.2.2 Zweiter Lösungsweg

U sei die Matrix mit den Spaltenvektoren und . Dann gilt:

Hintergrund: Die Matrix bringt die Eigenvektoren auf die Koordinatenachsen. Dann wird in Richtung der beiden Koordinatenachsen mit beziehungsweise gestreckt. Die Matrix U schließlich bringt die gestreckten Vektoren wieder in die Richtung der ursprünglichen Eigenvektoren. Die Zusammensetzung ist aber genau das, was die Matrix B bewirken soll.

4.3 Lineare Abbildung

In der folgenden Figur haben wir ein grünes Urbild. Magenta ist das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matrix B, rot das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matrix . Blau sind die Geraden in den Richtungen der Eigenvektoren eingezeichnet.

Urbild, Zwischenbild und Bild

5 MuPAD

Das folgende MuPAD-Programm liefert alle vier Vorzeichenkombinationen bei den Eigenwerten von B.

5.1 Erster Lösungsweg

Matr:= Dom::Matrix(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A

A := Matr([[12, 6], [-4, 1]]);

B := Matr([[a, b], [c, d]]):

EA := linalg::eigenvectors(A);

u:=j->EA[j][3][1]:

lambda:=j->EA[j][1]:

for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen

for q from 0 to 1 do

mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)):

mu[p,q,2]:=(-1)^q*sqrt(lambda(2)):

end_for:

Gleichung:=(p,q)->{(((B*u(j))[i]=mu[p,q,j]*u(j)[i])$j=1..2)$i=1..2}:

for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matrix B

for q from 0 to 1 do

s:=solve(Gleichung(p,q), {a,b,c,d}):

B1:=Matr([[s[1][1][2], s[1][2][2]], [s[1][3][2], s[1][4][2]]]):

print(Typeset, B1):

end_for:

Zur Matrix A

erhalten wir die Eigenwerte mit Vielfachheit und die Eigenvektoren

und der Reihe nach die zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lösungen:

5.2 Zweiter Lösungsweg

Matr:= Dom::Matrix(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A

A := Matr([[12, 6], [-4, 1]]);

EA := linalg::eigenvectors(A):

u:=j->EA[j][3][1]:

lambda:=j->EA[j][1]:

U:=Matr([[EA[1][3][1][1], EA[2][3][1][1]],

[EA[1][3][1][2], EA[2][3][1][2]]]);

for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen

for q from 0 to 1 do

mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)):

mu[p,q,2]:=(-1)^q*sqrt(lambda(2)):

end_for:

for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matrix B

for q from 0 to 1 do

Di:=Matr([[mu[p,q,1], 0], [0, mu[p,q,2]]]):

B:=U*Di*U^(-1):

print(Typeset, B):

end_for:

Zur Matrix A

erhalten wir die Matrix U aus den Eigenvektoren

und der Reihe nach die zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lösungen:

6 Abbildungen

Im Folgenden zu jeder Lösung die Abbildungen:

Erste Lösung

Zweite Lösung

Dritte Lösung

Vierte Lösung

Die magenta Zwischenbilder sehen unterschiedlich aus. In der ersten und vierten Lösung sind sie gleich orientiert (Locke beachten) wie das Urbild und das Endbild, in der zweiten und dritten Lösung sind sie entgegengesetzt orientiert.