Hans Walser, [20200516]

Wźrfelverdoppelung

Idee und Anregung: Jo Niemeyer, Berlin

1     Worum geht es?

Einpassverfahren zur volumenmŠ§igen Verdoppelung eines Wźrfels.

2     Wie geht es?

Wir beginnen mit einem 3×3-Quadrat (Abb.1a) und markieren darin ein 2×3-Rechteck (Abb. 1b).

Abb. 1: Quadrat und Rechteck

Nun bewegen wir das Rechteck, und zwar so, dass die obere Kante durch den oberen der beiden schwarz markierten Punkte verlŠuft und die rechte Kante durch den unteren. Die Abbildung 2 zeigt zwei Positionen.

Abb. 2: Bewegen des Rechteckes

Das machen wir so lange, bis die untere linke Ecke des Rechteckes an der linken Wźrfelkante ankommt (Abb. 3a).

Abb. 3: Anschlag und Wźrfel

Nun haben wir die Daten fźr das KantenverhŠltnis der beiden Wźrfel mit dem gesuchten VolumenverhŠltnis 1:2 (Abb. 3b).

3     Verifikation und Beweis

Verifikation mit DGS

Formaler Beweis mit CAS

4     Bemerkungen

4.1    Thaleskreis und Schnittpunkt

Die rechten oberen Ecken der Rechtecke bewegen sich auf dem Thaleskreis źber den beiden schwarz markierten Punkten (Abb. 4a).

Abb. 4: Thaleskreis und Schnittpunkt

Die eingezeichneten blauen Rechteckdiagonalen verlaufen alle durch einen gemeinsamen Punkt (Abb. 4b). Dieser Punkt liegt ebenfalls auf dem Thaleskreis. Nachweis mit KreiswinkelsŠtzen.

4.2    Bahnkurve

Die Bahnkurve der linken unteren Rechteckecken sieht aus wie ein Kreis (Abb. 5), es ist aber kein Kreis.

Abb. 5: Bahnkurve

Die Bahnkurve verlŠuft durch die vier eingezeichneten Gitterpunkte. Diese liegen aber nicht auf einem Kreis.

5     RŠumliche Darstellung

Mit quadratischen Fliesen legen wir ein 6×4-Schachbrett aus (Abb. 6) als Basis.

Abb. 6: Schachbrett als Basis

Wir ersetzen neun Fliesen so, dass ein 3×3-Quadrat sichtbar wird (Abb. 7).

Abb. 7: 3×3-Quadrat

In einer zweiten Ebene setzen wir ein 2×3-Rechteck zusammen (Abb. 8).

Abb. 8: Rechteck

In derselben Ebene kleben wir zwei schwarze Platten an die Basis (Abb. 9). Diese benštigen wir spŠter als Fźhrungselemente.

Abb. 9: Fźhrungselemente

Nun passen wir das Rechteck so ein, dass zwei Seiten an je einem Fźhrungselement ansto§en und eine Ecke am Rand des 3×3-Quadrats (Abb. 10).

Abb. 10: Einpassen des Rechteckes

Die Abbildung 11 zeigt die Situation von oben.

Abb. 11: Sicht von oben

Nun haben wir die KantenlŠngen von zwei Wźrfeln mit dem VolumenverhŠltnis 1:2. Die Abbildung 12 zeigt die Situation von oben. Die beiden Wźrfel erscheinen als Quadrate.

Abb. 12: Die beiden Wźrfel. Sicht von oben

Die Abbildung 13 zeigt eine Ansicht.

Abb. 13: Die beiden Wźrfel

 

Websites

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung/Wuerfelverdoppelung.htm

 

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung mit Stern und Spirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung2/Wuerfelverdoppelung2.htm