Hans Walser, [20231013]
Würfelhaldrittelung
Anregung: Swetlana Nordheimer, Berlin
1 Worum es geht
Raumvorstellung anhand des Würfels
2 Problemstellung
Ein Würfel (Abb. 1) soll in drei kongruente Teilpolyeder zerlegt werden, deren Kanten ausschließlich auf Kanten, Seitenflächendiagonalen und/oder Raumdiagonalen des Würfels (Abb. 2) liegen.
Abb. 1: Würfel
Abb. 2: Würfel mit allen Diagonalen
3 Beispiele
3.1 Klassiker: Pyramide
Die Abbildungen 3 und 4 zeigen die Pyramide im Würfel. Es ist eine schiefe Pyramide. Ihre Grundfläche ist eine quadratische Seitenfläche des Würfels. Im gezeichneten Beispiel ist die Grundfläche der Pyramide senkrecht, eine rückseitige Wand des Würfels.
Abb. 3: Pyramide im Würfel
Abb. 4: Pyramide im Würfel
Wir können eine zweite, kongruente, Pyramide in den Würfel einfügen (Abb. 5).
Abb. 5: Zwei Pyramiden
Wir können sogar drei solche Pyramiden in den Würfel einfügen (Abb. 6).
Abb. 6: Drei Pyramiden
Die Abbildung 7 zeigt das simultane Zusammenfügen der drei Pyramiden.
Abb. 7: Zusammenfügen von drei Pyramiden
3.2 Eine weitere Lösung
Die Abbildungen 8 und 9 zeigen eine weitere Lösung.
Abb. 8: Weitere Lösung
Abb. 9: Weitere Lösung
Wir können eine zweite, kongruente, Figur in den Würfel einfügen (Abb. 10).
Abb. 10: Zwei Figuren im Würfel
Und es passt eine dritte hinein (Abb. 11).
Abb. 11: Abschluss mit dritter Figur
Die Abbildung 12 zeigt das simultane Zusammenfügen der drei Figuren.
Abb. 12: Zusammenfügen der drei Figuren
3.3 Doppelpyramide
Die Abbildungen 13 und 14 zeigen eine Doppelpyramide im Würfel. Man kann diskutieren, ob in diesem Beispiel von einem Teilpolyeder des Würfels gesprochen werden kann.
Abb. 13: Doppelpyramide
Abb. 14: Doppelpyramide
Wir können einen zweite Doppelpyramide in den Würfel einfügen (Abb. 15).
Abb. 15: Zwei Doppelpyramiden im Würfel
Es hat auch noch Platz für eine dritte Doppelpyramide (Abb. 16).
Abb. 16: Drei Doppelpyramiden im Würfel
Beim simultanen Zusammenschieben aller drei Doppelpyramiden ergeben sich Überschneidungen, in der Endlage nicht (Abb. 17).
Abb. 17: Zusammenfügen der drei Doppelpyramiden
3.4 Noch eine Lösung
Schließlich noch eine Lösung (Abb. 18, 19 und 20).
Abb. 18: Noch eine Lösung
Abb. 19: Noch eine Lösung
Abb. 20: Papiermodell
Die Abbildung 21 zeigt das Schnittmuster (Abwicklung mit Klebelaschen) des Papiermodells.
Abb. 21: Schnittmuster
Wir können zwei solche Figuren aneinanderfügen, so dass der Würfelumriss erkennbar ist (Abb. 22*). Das Zusammenfügen von zwei Figuren geht ohne Durchdringung der beiden Figuren.
Abb. 22: Zwei Figuren
Die Abbildung 23 zeigt dieselbe relative Position der beiden Figuren. Sie stehen aber auf einer anderen Seite des Würfels.
Abb. 23: Zwei Figuren
Es passt genau eine dritte Figur zur Komplementierung zum Würfel hinein (Abb. 24).
Abb. 24: Drei Figuren
Leider geht das simultane Einschieben nicht durchdringungsfrei (Abb. 25). Der Autor hat auch mit drei Papiermodellen keinen Weg gefunden, die drei Figuren zu einem Würfel zusammenzufügen.
Abb. 25: Einschieben mit Durchdringungen
4 Hintergrund
Der Autor ist bei der Konstruktion der Beispiele vorgegangen wie folgt.
Die Würfeloberfläche besteht aus sechs Quadraten. Wir zerlegen die Würfeloberfläche mit den Würfelkanten und den Seitenflächendiagonalen in drei kongruente, zusammenhängende Teile. (Beim Beispiel der Doppelpyramide fehlt dieser Zusammenhang, daher ist dieses Beispiel diskutabel.) Wir zeihen nun die Punkte des Oberflächendrittels gegen die Würfelmitte. So entsteht ein räumliches Würfeldrittel. Es handelt sich hier um eine Verallgemeinerung des Pyramidenbegriffs.
Die Abbildungen 26 und 27 illustrieren das Vorgehen am Beispiel der Figur der Abbildungen 8 und 9.
Abb. 26: Aufbau eines Drittelwürfels. Zwischenstufe
Abb. 27: Aufbau eines Drittelwürfels
Weblinks
Hans Walser: Würfelhalbierung
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelhalbierung/Wuerfelhalbierung.html