Hans Walser, [20180814]

Winkelteilung

Anregung: Jo Niemeyer, Berlin

1     Worum geht es?

Es wird eine Methode besprochen, einen Winkel in eine ungerade Anzahl gleicher Teile zu unterteilen.

2     Mit Zirkel und Lineal

Die Winkeldrittelung ist — zusammen mit der WŸrfelverdoppelung und der Quadratur des Kreises — eines der drei klassischen Probleme, die mit Zirkel und Lineal nicht lšsbar sind.

Wie steht es mit der WinkelfŸnfteilung?

Und gleich noch eine Fangfrage: Kann ein Winkel mit Zirkel und Lineal in 17 gleiche Teile geteilt werden? – Nun hat doch Gau§ gezeigt, wie mit Zirkel und Lineal ein regelmŠ§iges 17-Eck konstruiert werden kann. Daraus folgt allerdings noch nicht, dass ein beliebiger Winkel in 17 gleiche Teile geteilt werden kann. (Nach derselben Logik wŠre eine Winkeldrittelung mšglich, da ein regelmŠ§iges Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.) – Angenommen, ein beliebiger Winkel kann mit Zirkel und Lineal in 17 gleiche Teile geteilt werden. Dann kšnnen wir insbesondere die Sektorenwinkel des regelmŠ§igen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal in je 17 gleiche Teile unterteilen und erhielten so das regelmŠ§ige 172-Eck, also das regelmŠ§ige 289-Eck. Dies widerspricht einem Satz von Gau§. Die Konstruktionsbedingung ist, dass die Eckenzahl sich aus verschiedenen FermatÕschen Primzahlen und/oder Zweierpotenzen zusammensetzt. Quadrate von FermatÕschen Prinzahlen sind als Eckenzahlen ausgeschlossen.

Allgemein kann ein Winkel nicht in eine ungerade Zahl von gleichen Teilen geteilt werden. Wenn dies mšglich wŠre, konnten wir insbesondere den vollen Winkel unterteilen und erhielten ein regelmŠ§iges Vieleck. Die Zahl mŸsste dann eine FermatÕsche Primzahl sein. Weitere Unterteilung mit derselben Zahl fŸhrt zum analogen Widerspruch wie oben.

Wir kšnnen einen beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal nur unterteilen in Anzahlen gleicher Teile, die keine ungeraden Zahlen als Faktoren enthalten. Die Anzahlen mŸssen also reine Zweierpotenzen sein.

3     Winkeldrittelung

Es gibt verschiedene Methoden zur Winkeldrittelung, vgl. [1], [2], [3].

3.1    Konstruktion einer Kurve

Wir arbeiten mit folgender Kurve: Auf der positiven x-Achse wŠhlen wir den Punkt  mit  (Abb. 1a). Weiter sei A der Koordinatenursprung. Wir ergŠnzen die Punkte A und B zum rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Kathete a = 1. Anschlie§end spiegeln wir das Dreieck ABC an der Kathete AC zum Bilddreieck ACD. Unsere Kurve ist nun die Ortslinie von D bei Variation von t (Abb. 1b).

Abb. 1: Konstruktion der Kurve

3.2    Anwendung der Kurve zur Winkeldrittelung

Wir passen den zu drittelnden Winkel so ein, dass A der Scheitel ist, die positive x-Achse der eine Schenkel, und der andere Schenkel nach oben schaut (Abb. 2a).

Abb. 2: Winkeldrittelung

Zu diesem zweiten Schenkel zeichnen wir eine Parallele im Abstand 1 und schneiden diese mit unserer Kurve (Abb. 2a). Der Strahl von A durch den Schnittpunkt drittelt den gegebenen Winkel. Die Abbildung 2b liefert den Beweis.

3.3    Rechnerisches

FŸr den Winkel  im rechtwinkligen Dreieck ABC der Abbildung 1 gilt:

 

                                                                                                                   (1)

 

 

Der Punkt D hat den Polarabstand t vom Ursprung und den Polarwinkel . FŸr seine kartesischen Koordinaten gilt daher:

 

                                                                             (2)

 

 

Weiter ist:

 

                                                                                                                     (3)

 

 

Aus (2) erhalten wir durch Expandieren (flei§iges Anwenden der Additionstheoreme):

 

                                                                                     (4)

 

 

Damit haben wir eine Parameterdarstellung unserer Kurve.

Den Parameter t kšnnen wir eliminieren wie folgt. ZunŠchst folgt aus (4) durch Quadrieren:

 

                                                                                                               (5)

 

 

Vorsicht: Durch das Quadrieren kšnnen ãfalsche LšsungenÒ entstehen.

Nun kšnnen wir (3) in (5) einsetzen. Die entstehende implizite Gleichung in x und y kann umgeformt werden zu:

 

                                                                                       (6)

 

 

Die Abbildung 3 zeigt den Implicitplot von (6). Die Kurve der Abbildung 1 ist zusŠtzlich an den Achsen gespiegelt. Das sind die ãfalschen LšsungenÒ.

†ber geometrische Aspekte dieser Kurve siehe [3].

Abb. 3: Implicitplot der Kurve fŸr die Winkeldrittelung

4     WinkelfŸnfteilung

Die WinkelfŸnfteilung lŠuft analog zur Winkeldrittelung.

Die Abbildung 4 zeigt die Konstruktion der Kurve fŸr die WinkelfŸnfteilung.

Abb. 4: Kurve fŸr die WinkelfŸnfteilung

Die Abbildung 5 zeigt das Vorgehen der WinkelfŸnfteilung.

Abb. 5: WinkelfŸnfteilung

Der Beweis lŠuft analog.

FŸr die Kurve erhalten wir die Parameterdarstellung:

 

                                                                              (7)

 

 

 

 

Elimination von t gemŠ§ (2) fŸhrt auf die implizite Gleichung:

 

                                 (8)

 

 

Die Abbildung 6 zeigt den zugehšrigen Implicitplot.

Abb. 6: Implicitplot fŸr die WinkelfŸnfteilung

5     Winkelsiebenteilung

FŸr die Kurve fŸr die Winkelsiebenteilung erhalten wir die Parameterdarstellung:

 

                                                          (9)

 

 

 

 

Die Abbildung 7 zeigt die Kurve.

 

           

Abb. 7: Kurve fŸr die Siebenteilung

Elimination von t aus (9) fŸhrt zur impliziten Gleichung:

 

                         (10)

 

 

 

 

Die Abbildung 8 zeigt den zugehšrigen Implicitplot.

Abb. 8: Implicitplot fŸr die Siebenteilung

6     Winkelneunteilung

Ich wei§, es bastanzt nachgerade, aber ich sehe immer noch nicht durch.

FŸr die Kurve fŸr die Winkelneunteilung erhalten wir die Parameterdarstellung:

 

                                   (11)

 

 

 

 

 

Die Abbildung 9 zeigt die Kurve.

 

           

Abb. 9: Kurve fŸr die Neunteilung

Elimination von t aus (11) fŸhrt zur impliziten Gleichung:

 

                                 (12)

 

 

 

 

 

 

 

Die Abbildung 10 zeigt den zugehšrigen Implicitplot.

Abb. 10: Implicitplot fŸr die Neunteilung

7     Zusammenstellung und †bersicht

Es werden jeweils der Reihe nach die Formeln fŸr Drittelung, FŸnfteilung, Siebenteilung und Neunteilung notiert.

Bei den Koeffizientenschematas sind gewissen GesetzmŠ§igkeiten feststellbar, geschlossene Formeln habe ich nicht.

7.1    Parameterdarstellungen

Parameterdarstellung fŸr x(t):

 

                                                                   (13)

 

 

 

 

 

 

 

Koeffizientenschema mit Zeilensummen:

 

1    -2                        -1                           

1    -8     8                   1

1   -18    48   -32            -1

1   -32   160  -256   128       1

 

Parameterdarstellung fŸr y(t):

 

                                   (14)

 

 

 

 

 

 

 

Koeffizientenschema mit Zeilensummen:

 

2                               2

4    -8                        -4  

6   -32    32                   6  

8   -80   192  -128            -8

 

7.2    Implizite Gleichungen

Es wird das Koeffizientenschema angegeben:

 

      (15)

 

 

 

 

Man ist versucht, zwischen den Zeilen zu fŸllen. Wie geht das?

7.3    Kurven

Die Abbildung 11 zeigt die zugehšrigen Kurven.

Abb. 11: Kurven

Die Abbildung 12 zeigt Kurven fŸr die Drittelung bis zur 17-Teilung.

Abb. 12: Bis zur 17-Teilung

 

 

Websites

[1] Hans Walser: Winkeldrittelung (Abgerufen 07.08.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung2/Winkeldrittelung2.htm

 

[2] Hans Walser: Winkeldrittelung (Abgerufen 02.08.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung/Winkeldrittelung.htm

 

[3] Hans Walser: Winkeldrittelung (Abgerufen 14.08.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung3/Winkeldrittelung3.htm