Hans Walser, [20220424]
Winkelschwerpunkte
Es seien A[i], i = 1
.. n, n ≥ 3, die Eckpunkte eines einfach
geschlossenen Polygons und alpha[i], i = 1 .. n, die zugehörigen Innenwinkel,
gemessen im Bogenmaß.
Es ist:
(1) sum(alpha[i], i = 1 .. n) = (n-2)*Pi Innenwinkelsumme
(2) sum((Pi - alpha[i]), i = 1 .. n) = 2*Pi Außenwinkelsumme
(von n unabhängig)
(3) sum((2*Pi - alpha[i]), i = 1 .. n) = (n +
2)*Pi Ergänzungswinkelsumme
Wir definieren
folgende Winkelschwerpunkte:
(4) Wi := 1/((n-2)*Pi)*sum(alpha[i]* A[i], i
= 1 .. n) Innenwinkelschwerpunkt
Wir können
uns den Innenwinkelschwerpunkt als physikalischen Schwerpunkt denken, indem die
Polygonecken mit den zugehörigen Innenwinkeln gewichtet werden.
(5) Wa := 1/(2*Pi) *sum((Pi - alpha[i])*
A[i], i = 1 .. n) Außenwinkelschwerpunkt
(6) We := 1/((n + 2)*Pi) *sum((2*Pi -
alpha[i])* A[i], i = 1 .. n) Ergänzungswinkelschwerpunkt
Ferner sei S der
übliche Schwerpunkt (Eckenschwerpunkt)
(7) S := 1/n* sum(A[i], i = 1 .. n) Eckenschwerpunkt
Abb.
1: Dreieck
Abb.
2: Vierecke
Abb. 3: Fünfecke
Abb. 4: Sechsecke
In sämtlichen Beispielen liegen die vier Punkte jeweils auf einer Geraden. Die beiden Punkte We und S liegen im Innern der Strecke WiWa.
Es genügt zu zeigen, dass We beziehungsweise S je eine Linearkombination von Wi und Wa sind.
Es ist:
(8) We = (n - 2)/(n + 2)*Wi + 4/(n + 2)*Wa Nachweis: (4), (5) und (6) einsetzen und rechnen
(9) S = (n – 2)/n*Wi + 2/n*Wa Nachweis: (4), (5) und (7) einsetzen und rechnen
Da alle Koeffizienten zwischen 0 und 1 liegen, liegen die beiden Punkte We und S liegen im Innern der Strecke WiWa.