Hans Walser, [20160520]
Winkelproblem
1 Das Problem
Gesucht ist der rote Winkel (Abb. 1).
Gibt es eine einfache, elementargeometrische Lšsung ohne Trigonometrie?
Abb. 1: Wie gro§ ist der rote Winkel?
Mit DGS erhalten wir fźr den roten Winkel 13ˇ.
2 Bearbeitung
ZunŠchst finden wir mit Wurzelźberlegungen, dass das in der Abbildung 2a himmelblau eingezeichnete Dreieck gleichschenklig ist. Es hat die Winkel 86ˇ, 47ˇ und 47ˇ. Die beiden blauen Strecken sind gleich lang.
In rot sind zusŠtzlich entstehende und berechenbare Winkel eingetragen.
Abb. 2: Gleichschenklige Dreiecke
Nun zeichnen wir ein weiteres gleichschenkliges Dreieck (gelb in der Abbildung 2b). Damit haben wir schon drei gleich lange Strecken. Zudem entsteht ein 60ˇ Winkel zwischen zwei gleich langen Strecken. Es hat die Winkel 26ˇ, 77ˇ, 77ˇ.
Wir kšnnen also ein gleichseitiges Dreieck einzeichnen (Abb. 3a). Zudem lassen wir Teile der Aufgabenstellung zunŠchst weg.
Abb. 3: Gleichseitiges Dreieck und noch ein gleichschenkliges Dreieck
Wir zeichnen ein weiteres gleichschenkliges Dreieck ein gemŠ§ Abbildung 3b. Es hat die Winkel 94ˇ, 43ˇ und 43ˇ.
Somit haben wir nun insgesamt fźnf gleich lange Strecken.
Wir kšnnen mit zweien der fźnf gleich langen Strecken ein weiteres gleichschenkliges Dreieck bilden (Abb. 4a).
Fźr seinen Winkel an der Spitze berechnen wir 60ˇ + 96ˇ = 156ˇ. Die beiden Basiswinkel messen daher je 13ˇ.
Die Basislinie hat somit gegenźber der horizontalen Basislinie der Gesamtfigur den Steigungswinkel 26ˇ + 60ˇ – 13ˇ = 73ˇ.
Abb. 4: Noch ein gleichschenkliges Dreieck
Damit sehen wir, dass wir die ursprźngliche Problemfigur in die nun vorliegende Figur einpassen kšnnen.
Der in der Problemstellung gesuchte rote Winkel misst 13ˇ.
3 Bemerkung zum Lšsungsweg
Dieser Lšsungsweg ist nur wegen der spezifisch gegebenen Daten gangbar. Er funktioniert im allgemeinen Fall nicht.