Hans Walser, [20190911]

Winkeldrittelung mit Lemniskate

Anregung: J. L., F.

1   Worum geht es?

Die Lemniskate von Bernoulli liefert ein Einschiebe-Verfahren zur Winkeldrittelung.

Die Lemniskate ist eine ăliegende AchtŇ (Abb. 1).

2   Vorgehen

In eine Lemniskate zeichnen wir den zu drittelnden Winkel ein gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Lemniskate und Winkel

Zum zweiten Schenkel des Winkels zeichnen wir eine Normale (Abb. 2).

Abb. 2: Normale

Wir verschieben die Normale, bis sie die Lemniskate berźhrt (dies ist das ăEinschiebenŇ, Abb. 3).

Abb. 3: Verschieben bis zur Berźhrung

Mit dem Berźhrungspunkt ergibt sich der Drittelwinkel (Abb. 4).

Abb. 4: Drittelwinkel

3   Beweis

Wir haben die Stimmigkeit der Figur der Abbildung 5 zu zeigen.

Abb. 5: Was zu zeigen ist

Die Lemniskaten-Schleife der Abbildung 5 hat die Polargleichung:

 

                                                                                     (1)

 

 

 

Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung:

 

                                                                                          (2)

 

 

 

 

Fźr den Tangentialvektor erhalten wir (die Additionstheoreme sind immer wieder gut):

 

                                                         (3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dieser Vektor (3) ist orthogonal zum Vektor (4):

 

                                                                                                                     (4)

 

 

 

 

Der Vektor (4) ist aber der Richtungsvektor des zweiten Schenkels des Winkels 3t. Damit ist der Sachverhalt bewiesen.

4   Sonderfall

Die Hoch- und Tiefpunkte der Lemniskate definieren zusammen mit dem Zentrum gleichseitige Dreiecke (Abb. 6).

Abb. 6: Gleichseitige Dreiecke

5   Winkelhalbierung

Was geschieht, wenn wir die Lemniskate durch einen Doppelkreis ersetzen (Abb. 7)? Das ist ja auch eine ăliegende AchtŇ.

Abb. 7: Doppelkreis

Zum zweiten Schenkel des Winkels zeichnen wir eine Normale (Abb. 8).

Abb. 8: Normale

Wir verschieben die Normale, bis sie den Doppelkreis berźhrt (Abb. 9).

Abb. 9: Verschieben bis zur Berźhrung


 

Mit dem Berźhrungspunkt ergibt sich ein halber Winkel (Abb. 10).

(Der Autor gesteht, dass es auch einfachere Methoden gibt, einen Winkel zu halbieren.)

Abb. 10: Halber Winkel

Fźr den Beweis tragen wir, wie in der Sekundarschule gelernt, den Berźhrungsradius ein (Abb. 11).

Abb. 11: Berźhrungsradius

Es entsteht ein gleichschenkliges Dreieck. Der Au§enwinkel an der Spitze ist gleich dem Startwinkel. Die Basiswinkel sind halb so gro§.

 

Damit am Schluss eine Frage offen bleibt: welche ăliegende AchtŇ fźhrt zu einer Winkel-Viertelung?

 

Websites

 

Hans Walser: Winkelhalbierung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkelhalbierung/Winkelhalbierung.htm

 

Hans Walser: Winkeldrittelung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung4/Winkeldrittelung4.htm

 

Hans Walser: Winkeldrittelung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung3/Winkeldrittelung3.htm

 

Hans Walser: Winkeldrittelung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung2/Winkeldrittelung2.htm

 

Hans Walser: Winkeldrittelung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung/Winkeldrittelung.htm