Hans Walser, [20160411]

Viviani im Simplex

1     Worum geht es?

Der Satz von Viviani besagt, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Summe der drei von einem beliebigen Punkt Lotstrecken zu den Dreieckseiten (Abb. 1) eine Konstante ist, nŠmlich die Dreieckshšhe (Vargyas und Walser, 2015).

Abb. 1: Der Satz von Viviani in der Ebene

Wir Ÿbertragen den Satz in die Dimension n.

2     Beispiele

2.1    Dimension 1

FŸr eine Strecke ist die Sache trivial (Abb. 2). Die Summe der AbstŠnde von einem Punkt zu den Enden ist die StreckenlŠnge.

Abb. 2: Unterteilung einer Strecke

2.2    In der Ebene

Der klassische Satz von Viviani in der Ebene kann bewiesen werden wie folgt. Wir zerlegen das gleichseitige Dreieck in drei Teildreiecke. In der Abbildung 3 ist eines dieser Teildreiecke hervorgehoben.

Abb. 3: Teildreiecke

Die Teildreiecke haben eine Seite des Ausgangsdreiecks als Grundlinie und eie Lostrecke als Hšhe. Der FlŠcheninhalt eines Teildreiecks ist also die HŠlfte des Produktes der Dreiecksseite mit der Lotstrecke. Die Summe der drei FlŠcheninhalte ist somit die HŠlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Summe der drei Lotstrecken. Andererseits ist das die GesamtflŠche des Dreiecks, also die HŠlfte des Produkts der Dreiecksseite mit der Dreieckshšhe.

Somit ist die Summe der drei Lotstrecken gleich der Dreieckshšhe. Dies war zu zeigen.

Wesentlich fŸr den Beweis ist die Gleichheit der Dreiecksseiten. Dies folgt aus der RegelmŠ§igkeit des Dreiecks.

2.3    Im Raum

Dem gleichseitigen Dreieck in der Ebene entspricht im Raum das regelmŠ§ige Tetraeder.

Von einem Punkt im Innern des Tetraeders aus fŠllen wir die Lote auf die vier Seitendreiecke (Abb. 4).

Abb. 4: Summe der AbstŠnde

 

Der Satz von Viviani im Raum besagt nun, dass die Summe der vier Lotstrecken konstant ist, nŠmlich gleich der Tetraederhšhe.

FŸr den Beweis zerlegen das Tetraeder, vom Punkt im Innern ausgehend, in vier Dreikant-Pyramiden mit je einer SeitenflŠche des Tetraeders als GrundflŠche. Die Abbildung 5 zeigt eine der vier Pyramiden.

Abb. 5: Pyramide

Die Pyramide hat eine der Lotstrecken als Hšhe. Das Volumen ist also ein Drittel des Produktes der Lotstrecke mit der SeitenflŠche des Tetraeders. Die Volumensumme der vier Pyramiden ist somit einerseits ein Drittel des Produktes der Summe der Lotstrecken mit der SeitenflŠche des Tetraeders. Andererseits ist das aber das gesamte Tetraedervolumen, also ein Drittel des Produktes der Tetraederhšhe mit der SeitenflŠche des Tetraeders.

Daher ist die Tetraederhšhe gleich der Summe der vier Lotstrecken. Dies war zu zeigen.

Wesentlich fŸr den Beweis ist die Gleichheit der SeitenflŠchen. Diese folgt aus der RegelmŠ§igkeit des Tetraeders.

3     Simplex

Der allgemeine Oberbegriff von Strecke, gleichseitiges Dreieck, regelmŠ§iges Tetraeder hei§t regelmŠ§iges Simplex. FŸr ein Simplex im n-dimensionalen Raum wird auch die Bezeichnung n-Simplex verwendet. Das Dreieck ist das 2-Simplex, das Tetraeder das 3-Simplex.

Das n-Simplex hat  Eckpunkte und  den Eckpunkten gegenŸberliegende kongruente  als Hyperseiten.

Von einem Punkt im n-Simplex aus gibt es  Lotstrecken zu den Hyperseiten.

Es gilt der Satz von Viviani fŸr regemŠ§ige n-Simplexe: Die Summe der  Lotstrecken ist gleich der Hšhe des n-Simplexes.

Der Beweis lŠuft analog zu den Beweisen bei Dreieck und Tetraeder. Wir zerlegen das n-Simplex in  Hyperpyramiden mit je einem  als GrundhyperflŠche und der Lotstrecke als Hšhe. FŸr die Berechnung des n-Volumens muss mit dem Faktor  gearbeitet werden.

Bemerkung: Bei der KantenlŠnge 1 hat das n-Simplex die Hšhe . FŸr unseren Beweis ist das aber irrelevant.

Literatur

Vargyas, Emese und Walser, Hans (2015): Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.