Hans Walser, [20171107]

Viereck mit d = e = f

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1 Worum geht es?

Von einem Viereck in der üblichen Beschriftung seien die Seiten a, b, c bekannt. Weiter sei d = e = f (e und f seien die beiden Diagonalen). Gesucht ist das Viereck.

Gibt für den allgemeinen Fall eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal?

2 Klassisches Beispiel

Das klassische Beispiel ist a = b = c = 1 mit den beiden Lösungen (Goldener Schnitt, Abb. 1):

und (1)

Abb. 1: Klassisches Beispiel

Die zweite Lösung ist „überschlagend“. Die beiden Lösungen sind durch Einbettung in ein reguläres Fünfeck einsehbar (Abb. 2).

Abb. 2: Zusammenhang mit regulärem Fünfeck

3 Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall seien die drei gegebenen Seiten a, b, c paarweise verschieden (Abb. 3).

Abb. 3: Allgemeines Beispiel

Es gibt mehrere Lösungswege.

3.1 Rechnerische Lösung

Auf Grund des Kosinussatzes ist im Dreieck ABC:

(2)

Analog im Dreieck BCD:

(3)

Für die Seite d = AD ergibt sich nach einiger Rechnung mit Pythagoras:

(4)

Bei gegebenen a, b, c bildet {(2), (3), (4)} ein Gleichungssystem für d, , .

3.2 Einschiebelösung mit Gelenkmodell

Wir denken uns die drei Strecken a, b, c in den Punkten B und C gelenkig verbunden. Weiter seien auf den Strecken a und c die Mittelsenkrechten montiert (Abb. 4).

Abb. 4: Gelenkmodell. Ausgangslage

Nun drehen wir die Strecke c um den Punkt C, bis die Mittelsenkrechte von c durch den Punkt A verläuft (Abb. 5).

Abb. 5: Erster Schritt

Dieser erste Schritt kann auch mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Jetzt drehen wir die Strecke a mit ihrer Mittelsenkrechten um den Punkt B und nehmen die Mittelsenkrechte von c samt c mit. Die Strecke c wird jetzt also zurückgedreht. Die Abbildung 6 zeigt den Beginn des Zurückdrehens, die Abbildung 7 eine weitere Situation.

Abb. 6: Beginn des Zurückdrehens

Abb. 7: Weiteres Zurückdrehen

Dieses Zurückdrehen machen wir nun so lange, bis die Mittelsenkrechte von a im Punkt D anstößt (Abb. 8).

Abb. 8: Anstoßen

Damit haben wir unser Viereck gefunden (Abb. 9).

Abb. 9: Lösung

3.3 Zirkel und Lineal?

Ich habe keine Lösung mit Zirkel und Lineal gefunden.

4 Sonderfall

Im Sonderfall a = c ist das Viereck aus Symmetriegründen ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck. Aus dem Satz des Ptolemäus ergibt sich:

(5)

Bei gegebenen a und b ist dies eine quadratische Gleichung für d. Das Problem kann daher mit Zirkel und Lineal gelöst werden.

Der klassische Fall mit dem Goldenen Schnitt als Lösung gehört zu diesem Sonderfall.