Hans Walser
Viereck mit orthogonalen Diagonalen
1
Ansetzen von Šhnlichen gleichschenkligen Dreiecken
Wir setzen den Seiten
eines beliebigen Vierecks Šhnliche gleichschenklige Dreiecke an.
€hnliche
gleichschenklige Dreiecke
Die rote und die blaue
Strecke sind genau dann gleich lang, wenn die Diagonalen des Viereckes
orthogonal sind.
2
Beweis
Fźr den Beweis mźssen
wir etwas ausholen.
2.1
Ein Hilfssatz im Dreieck
Einem Dreieck ABC setzen wir Šhnliche gleichschenklige Dreiecke mit
den Basiswinkeln 
an, zwei nach
au§en und eins nach innen.
Ansetzen von
gleichschenkligen Dreiecken
Dann ist das Viereck 
ein
Parallelogramm.
Beweis: Das Dreieck 
ist das Bild des
Dreiecks CAB bei einer Drehstreckung um C mit dem Drehwinkel 
im Uhrzeigersinn
und dem Streckfaktor 
. Die Strecke 
ist das Bild der
Strecke AB bei einer
Drehstreckung um A, ebenso mit
dem Drehwinkel 
im Uhrzeigersinn
und dem Streckfaktor 
. Daher sind die Strecken 
und 
gleich lang und
parallel. Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
Bemerkung 1: Fźr 
ergibt sich der
Sonderfall mit den Seitenmitten.
Sonderfall mit
Drehwinkel null
Bemerkung 2: Fźr 
gibt es sechs
Kombinationen innen / au§en bezźglich des Ansetzens der gleichschenkligen
Dreiecke und damit auch sechs Parallelogramme.
Sechs Parallelogramme
2.2
Ein schšner Satz im Viereck
Wir setzen einem
beliebigen Viereck Šhnliche gleichschenklige Dreiecke abwechslungsweise nach
au§en und nach innen auf. Ebenso setzen wir an der Diagonalen e ein solches Dreieck auf.
Anwendung im Viereck
Nun wenden wir den
Hilfssatz einerseits fźr das Dreieck ABC und
andererseits fźr das Dreieck ACD
an. Daraus ergibt sich, dass die Vierecke 
und 
Parallelogramme sind.
Daher ist auch das Viereck 
ein
Parallelogramm (vgl. [Haag 2003]). Die SeitenlŠngen dieses Parallelgramms
entsprechen den SchenkellŠngen der den Diagonalen e und f
aufgesetzten gleichschenkligen Dreiecke.
Parallelogramm
Die Seiten 
und 
sind parallel zu
der um den Winkel 
im Gegenuhrzeigersinn
gedrehten Diagonalen e. Analog kšnnen
wir einsehen, dass die Seiten 
und 
parallel sind
zur der um den Winkel 
nun im Uhrzeigersinn
gedrehten zweiten Diagonalen f.
Den spitzen Schnittwinkel der beiden Diagonalen bezeichnen wir mit 
. Damit erhalten wir in unserem Parallelogramm 
die folgenden
Winkel:
Winkel
2.3
Zweites Parallelogramm
Nun vertauschen wir
innen und au§en beim Aufsetzen der gleichschenkligen Dreiecke. Wir erhalten ein
Parallelogramm 
. Seine Seiten entsprechen den SchenkellŠngen der den
Diagonalen e und f aufgesetzten gleichschenkligen Dreiecke, sind also
gleich lang wie die Seiten des Parallelogramms 
.
Zweites Parallelogramm
Im Parallelogramm 
haben wir aber
die Winkel:
Genau bei 
haben wir:
Die beiden
Parallelogramme sind kongruent und zwar so, dass 
und 
. Daraus folgt die Behauptung.
Literatur
[Haag 2003] Haag, Wilfried: Wege zu geometrischen SŠtzen. Stuttgart: Klett 2003. ISBN 3-12-720120-6