1 Worum es geht

Flächenüberlegung im Kontext des Goldenen Schnittes

2 Verlängerung der Seiten

In einem beliebigen Dreieck (grün in Abb. 1) verlängern wir zwei Seiten mit dem Faktor des Goldenen Schnittes:

Abb. 1: Verlängern der Seiten

3 Ergänzungsdreieck

Das gelbe Ergänzungsdreieck ist flächengleich zum Startdreieck.

4 Beweis

Für den Beweis arbeiten wir mit den Bezeichnungen der Abbildung 2.

Abb. 2: Bezeichnungen

Den Flächeninhalt F des grünen Dreiecks berechnen wir mit:

Wegen

erhalten wir entsprechend für den Flächeninhalt G des gelben Ergänzungsdreieckes:

Die beiden Flächeninhalte sind also gleich groß.

Die Abbildung 3 gibt eine gemeinsame Zerlegung der beiden Dreiecke. Jedes Teilstück im grünen Startdreieck erscheint auch im gelben Ergänzungsdreieck und umgekehrt. Die entsprechenden Teilstücke können entweder durch eine Translation oder eine Punktspiegelung ineinander übergeführt werden.

Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung

5 Verallgemeinerung

Wir können alle drei Seiten des grünen Startdreieckes verlängern und drei Ergänzungsdreiecke zeichnen (Abb. 4).

Abb. 4: Drei Ergänzungsdreiecke

Jedes Ergänzungsdreieck ist flächenmäßig gleich groß wie das grüne Startdreieck. Die Gesamtfläche der Figur hat sich also vervierfacht.

6 Iteration

Wiederholung des Prozesses liefert eine Figur, welche flächenmäßig 16mal so groß ist wie das grüne Startdreieck (Abb. 5).

Abb. 5: Wiederholung des Prozesses

Die Abbildung 6 gibt eine Mehrfachwiederholung. Es entsteht eine spiralartige Figur mit exponentiellem Flächenwachstum.

Abb. 6: Iteration

Weblink

Hans Walser: Vergrößern mit dem Goldenen Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/VergroessernmitGS/VergroessernmitGS.htm