1 Worum geht es?

Analogien zu [2] und [3]. Verallgemeinerung von [1].

2 Schnitt zweier Zylinder

Die Abbildung 1a zeigt die Durchschnittsfigur zweier Zylinder. Die beiden Zylinder haben je den Radius 1. Ihre Achsen schneiden sich orthogonal.

a) b)

Abb. 1: Durchschnitt zweier Zylinder. Kreuzgewölbe

Gemäß [1] hat die Figur das Volumen und die Oberfläche 16. Bei beiden Resultaten kommt die Kreiszahl π nicht vor.

Die obere Hälfte der Figur kann als Kreuzgewölbe interpretiert werden (Abb. 1b).

Die horizontalen Querschnitte sind Quadrate (Abb. 2). Diese Quadrate sind zur Volumenberechnung hilfreich. Wir können das Prinzip von Cavalieri anwenden.

Abb. 2: Querschnitte je ein Quadrat

3 Verdrehung

Die Abbildung 3 zeigt nun eine Verdrehung der Figur.

Abb.3: Verdrehte Figur

Die Querschnitte sind immer noch Quadrate, aber gegeneinander verdreht (Abb. 4).

Abb. 4: Querschnitte sind Quadrate

Das heißt, dass sich das Volumen beim Verdrehen nicht ändert. Hingegen wird die Oberfläche größer.

4 Inkugel und vivianische Kurve

Die Figur der Abbildung 1a hat die Einheitskugel als Inkugel. Die Berührung erfolgt an ausgewählten Meridianen der Inkugel (Abb. 5).

Abb. 5: Berührmeridiane und Inkugel

Durch die Verdrehung werden die Berührkurven zu so genannten vivianischen Kurven verdreht (Abb. 6).

Abb. 6: Vivianische Kurven

5 Stärkere Verdrehung

Die Abbildung 7 zeigt eine Verdrehung, die das Vierfache der Verdrehungen der Abbildungen 3 und 6 ausmacht.

Abb. 7: Starke Verdrehung

6 Oberflächenberechnungen

Die unverdrehte Figur hat die Oberfläche 16. Bei Verdrehen wird die Oberfläche größer.

Wir führen einen Verdrehungsparameter k ein. Für k = 0 haben wir keine Verdrehung (Abb. 8a). Für k = 1 haben wir zwischen den Polen eine Verdrehung um 180° (Abb. 8b). Allgemein haben wir zwischen den Polen eine Verdrehung um k mal 180°.

a) b)

Abb. 8: Verdrehungen illustriert durch vivianische Kurven

In den Abbildungen 3 und 6 ist k = 1, in der Abbildung 7 haben wir k = 4. In Abhängigkeit von k haben wir für eine der beiden roten Flächenstücken die Parameterdarstellung:

(1)