Hans Walser, [20091121a]

Verdrehtes Kreissegment

1        Worum es geht

Wir drehen ein Kreissegment um eine Ecke um einen beliebigen Winkel.

Verdrehtes Kreissegment


Dann sind die andere Segmentecke, ihr verdrehtes Bild und der Schnittpunkt der beiden TrŠgerkreise der Segmente kollinear.

Kollineare Punkte


2        Beweis

Bezeichnungen gemŠ§ Figur. Der Drehpunkt ist A;  sei der verdrehte Punkt .

Die TrŠgerkreise  und  haben die beiden Schnittpunkte A (Drehpunkte) und S.

Wir zeigen, dass der Schnittpunkt  von BS mit  mit dem Punkt  zusammenfŠllt.

Beweisfigur

Der Kreisbogen  von  und der Kreisbogen  von  sind ErgŠnzungsbogen mit dem gleichen Radius. Wir interpretieren diese als Ortsbogen (Fasskreise) źber der Strecke AS. Die zugehšrigen Peripheriewinkel sind dann ErgŠnzungswinkel auf ą. Es ist also:

Daher ist:

Das Dreieck  ist also gleichschenklig, die Strecken  und  gleich lang. Andererseits sind auch die Sehnen  und  gleich lang. Daher ist . 


3        Verdrehtes Kreisbźschel

Wir verdrehen ein Kreisbźschel gemŠ§ Figur.

Verdrehtes Kreisbźschel

Die Schnittpunkte entsprechender Kreise sind kollinear.


4        Verdrehte Sehnenvielecke

Wenn wir eine Sehnenvieleck um eine Punkt des Umkreises drehen, sind die Verbindungsgeraden entsprechender Eckpunkte kopunktal.

4.1      Sehnenviereck

Als Beispiel ein  Sehnenviereck.

Verdrehtes Sehnenviereck

4.2      RegelmŠ§iges Vieleck

Als Sonderfall kšnnen wir ein regelmŠ§iges Vieleck um eine Ecke drehen.

Verdrehtes Fźnfeck