Hans Walser, [20181014]
Verdrehter WŸrfel
1 Motivation
Im Tessin finden sich auf einigen DŠchern Schornsteine mit einer Verdrehung oder einem Drall. Die Abbildung 1 zeigt eine schematisierte Darstellung.
Abb. 1: Schornstein mit Drall
Die Abbildung 2 zeigt ein Architekturmodell mit derselben Grundidee. Es handelt sich um eine Arbeit der Studierenden V. C. und A. P., ETH ZŸrich, 2018.
Abb. 2: Architekturmodell
2 Problemstellung
Die Abbildung 3 zeigt einen WŸrfel sowie einen verdrehten WŸrfel
Abb. 3: WŸrfel und verdrehter WŸrfel
Die Abbildung 4 zeigt weitere Stufen der Verdrehung.
Abb. 4: Weitere Verdrehungen
Frage: Wie gro§ sind Volumen und OberflŠche der verdrehten WŸrfel?
3 Bearbeitung
3.1 Volumen
Das Volumen all dieser WŸrfel ist gleich. Dies folgt aus dem Prinzip von Cavalieri, wie es auch in den Abbildungen 1 und 2 angedeutet ist.
3.2 OberflŠche
Die MantelflŠche wird mit zunehmender Verdrehung grš§er.
3.2.1 FlŠchenberechnung
FŸr den
WŸrfel wŠhlen wir das kartesische Koordinatensystem so, dass der WŸrfel achsenparallel
ist und zwei diametrale Ecken mit den Koordinaten 
und 
hat. Eine
SeitenflŠche des WŸrfels hat dann den FlŠcheninhalt 4.
Ein Viertel der MantelflŠche, zum Beispiel das blaue TeilstŸck der Abbildungen 3 und 4, kann in diesem Koordinatensystem so parametrisiert werden:
(1)
Dabei
gibt k den Verdrehungsgrad an. FŸr k = 0 erhalten wir den unverdrehten
WŸrfel, fŸr k > 1 ist der Deckel
gegenŸber dem Boden um 
verdreht.
FŸr die FlŠchenberechnung benštigen wir die partiellen Ableitungen
(2)
und:
(3)
Damit erhalten wir die erste Fundamentalform
(4)
und:
(5)
FŸr den FlŠcheninhalt S(k) eines Viertels der MantelflŠche, eben zum Beispiel das blaue TeilstŸck, ergibt sich in AbhŠngigkeit von k:
(6)
Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Werte.
|
k |
S(k) |
S(k)/k |
|
0 |
4 |
- |
|
1 |
4.379694176 |
4.379694176 |
|
2 |
5.294609404 |
2.647304702 |
|
3 |
6.470958993 |
2.156986331 |
|
4 |
7.779390908 |
1.944847727 |
|
5 |
9.162361745 |
1.832472349 |
|
6 |
10.59145114 |
1.765241857 |
|
7 |
12.05112431 |
1.721589187 |
|
8 |
13.53217714 |
1.691522142 |
|
9 |
15.02880150 |
1.669866833 |
|
10 |
16.53714424 |
1.653714424 |
|
11 |
18.05454378 |
1.641322162 |
|
12 |
19.57909939 |
1.631591616 |
|
13 |
21.10941543 |
1.623801187 |
|
14 |
22.64444266 |
1.617460190 |
|
15 |
24.18337611 |
1.612225074 |
|
16 |
25.72558732 |
1.607849208 |
|
17 |
27.27057798 |
1.604151646 |
|
18 |
28.81794763 |
1.600997091 |
|
19 |
30.36737052 |
1.598282659 |
|
20 |
31.91857872 |
1.595928936 |
|
100 |
157.2211346 |
1.572211346 |
|
1000 |
1570.816339 |
1.570816339 |
|
10000 |
15707.96586 |
1.570796586 |
Tab. 1: Numerische Werte
3.2.2 Feststellungen
Der
FlŠcheninhalt divergiert mit wachsendem k.
Der Quotient zu k nŠhert sich dem
Wert 
.
3.2.3 BegrŸndung
Der Grenzwert
(7)
kann mit CAS bewiesen werden.
Er kann aber auch eingesehen werden wir folgt.
Die
Abbildung 5 zeigt die Situation fŸr k
= 12. Die blaue FlŠche macht insgesamt drei Runden. Die Anzahl der Runden ist
allgemein 
.
Abb. 5: Drei Runden
Die Abbildung 6 zeigt die Situation (ohne Deckel und Boden) von vorne und von oben.
Abb. 6: Sicht von vorne und von oben
Die blaue
FlŠche erscheint als schraubenlinienfšrmige Kannelierung oder Auskehlung. Der
Innenradius ist 1, der Au§enradius 
. Ein Kreisring mit diesen Dimensionen hat den
FlŠcheninhalt 
. Die Kannelierung hat pro Runde oben und unten je
einen FlŠcheninhalt, die nŠherungsweise der RingflŠche entspricht. Die gesamte
blaue FlŠche hat also approximativ den FlŠcheninhalt:
(8)
Der Quotient zu k wird also nŠherungsweise
(9)
Da die Approximation mit wachsendem k immer besser wird, ergibt sich erneut der Grenzwert (7):
(7)