Hans Walser, [20070330a]

Verallgemeinerung des Thaleskreises

1        Hands on Geometry

Wir schlagen in den Punkten A und B je einen Nagel ein so dass der Nagelhals noch vorsteht und schieben ein Geo-Dreieck ein. Wenn wir das Geo-Dreieck bewegen, beschreibt die Ecke mit dem rechten Winkel den Thaleskreis źber der Strecke AB.

Der Thaleskreis kann wie folgt sichtbar gemacht werden: wir bestreuen die Ebene (also das Brett, in welchem die beiden NŠgel stecken) leicht mit Sand und schieben den Sand mit dem Geo-Dreieck (mit Vorteil eines aus Holz, das eine gewisse Dicke aufweist) zur Seite.

 

Genesis des Thaleskreises

 

Frage 1: Was fźr eine Kurve beschreiben die beiden anderen Ecken des Geodreieckes?

Bei unserer Konstruktion gehen wir von ăidealenŇ NŠgeln der Dicke Null aus. Wie aber, wenn die NŠgel einen realen Durchmesser  haben?

2        Echte NŠgel

Bei echten NŠgeln kommen wir mit dem Geo-Dreieck nicht mehr bis zum Thaleskreis.

 

Das UnzulŠngliche, hier wirdŐs Ereignis

 

Was fźr eine Kurve beschreibt die Ecke des Geo-Dreieckes in diesem Fall?.

Zur Auffindung der Parameterdarstellung mag folgende Figur hilfreich sein:

 

Figur zum Nachdenken

 

Fźr die Kurve, welche die Ecke beim rechten Winkel des Geo-Dreieckes beschreibt,  ergibt sich die Parameterdarstellung:

 

 

 

Fźr  ergibt sich:

 

Der reale ăThaleskreisŇ

 

Das ist natźrlich kein Kreis mehr, sondern eine †berlagerung von zwei Kreisbewegungen mit unterschiedlicher Drehfrequenz. Man nennt das eine Epizykloide.

Wir sehen allerdings in unserer Figur, dass wir die Parametergrenzen nicht genau gefunden haben. Daher:

Frage 2: Welches sind die sauberen Parametergrenzen?

Man kann sich auch fragen, was bei einer Ausweitung des Parameterbereiches geschieht.

Die folgende Figur zeigt die Situation fźr  und :

 

Erweiterter Parameterbereich

 

Wir erhalten eine Schlinge mit zwei UmlŠufen.

Und nun noch einige Bildchen mit verschiedenen Werten von r.

 

r = 0.5     und     r = 1

 

r = Ă2     und     r = 2

 

3        Antworten zu den Fragen

3.1      Frage 1

Was fźr eine Kurve beschreiben die beiden anderen Ecken des Geodreieckes?

Wir geben den Punkten A und B die Koordinaten  und . Das Geo-Dreieck habe die Ecken  mit dem rechten Winkel in C. Die SchenkellŠnge des Geo-Dreieckes sei s.  Wir verwenden den Parameter t gemŠ§ Figur.

 

Wo spaziert die Ecke ?

 

Fźr den Weg der Ecke  erhalten wir die Parameterdarstellung:

 

 

 

Fźr  ergibt sich die schwarze Kurve der folgenden Figur:

 

 

Sie ist etwas bescheiden, aber wenn man sich die Dynamik des Geo-Dreieckes vorstellt, stimmt es.

Fźr den erweiterten Parameterbereich  ergibt sich eine geschlossene Kurve. Mit dem Geo-Dreieck ist das allerdings nur noch virtuell mšglich; die Katheten mźssen źber die Ecken hinaus verlŠngert werden.

 

Erweiterter Parameterbereich

 

Fźr den Grenzfall  und den erweiterten Parameterbereich  erhalten wir die so genannte Kardioide oder Herzkurve. Sie ist eine spezielle Epizykloide (Abrollkurve).

 

Herzkurve

 

3.2      Frage 2

Welches sind die sauberen Parametergrenzen?

Die Figur zeigt die Startsituation:

 

Startsituation

 

Der Startwinkel ist nicht Null, sondern . In unserer Parametrisierung beschreibt  die Orientierung des Geo-Dreieckes. Fźr den Startparameter  erhalten wir also:

 

 

 

Analoges gilt fźr die Endposition.

Somit erhalten wir die richtigen Intervallgrenzen: . Die folgenden Figur zeigt die Situation fźr :

 

OmaŐs Brille