1 Worum es geht

Versuch, das regelmäßige Sechseck in den Raum zu verallgemeinern

2 Sechseck in der Ebene

Das regelmäßige Sechseck hat unter anderem folgende Eigenschaften:

· Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis, dem Umkreis

· Alle Seiten sind gleich lang

· Der Umkreisradius ist gleich der Seitenlänge

Abb. 1: Regelmäßiges Sechseck in der Ebene

Das regelmäßige Sechseck ist das einzige Vieleck, das die obigen drei Eigenschaften hat.

3 Problemstellung

Analogie im Raum?

4 Interpretation der Problemstellung

Wir suchen ein Polyeder mit folgenden Eigenschaften:

· Alle Eckpunkte liegen auf einer Kugel, der Umkugel

· Alle Kanten sind gleich lang

· Der Umkugelradius ist gleich der Kantenlänge

5 Bearbeitung

5.1 Kuboktaeder

Eine erste Lösung ist das Kuboktaeder.

Die Ecken des Kuboktaeders sind die Kantenmitten eines Würfels (Abb. 2).

Ein Bild, das Symmetrie enthält.

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Abb. 2: Kantenmitten des Würfels

Die Kantenberührkugel des Würfels ist die Umkugel des Kuboktaeders (Abb. 3).

Ein Bild, das Symmetrie, Dom, Würfel, Design enthält.

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Abb. 3: Kantenberührkugel

Bei einer Kantenlänge 2 des Würfels haben sowohl die Kanten des Kuboktaeders wie auch der Kantenberührkugelradius, also der Umkugelradius, die Länge √2. Somit ist das Kuboktaeder eine Lösung unseres Problems.

Die Abbildungen 4 und 5 zeigen zwei Darstellungen des Kuboktaeders. Das Kuboktaeder ist ein sogenannter archimedischer Körper.

Ein Bild, das Kreis, Kugel, Design enthält.

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Abb. 4: Kuboktaeder und Umkugel

Ein Bild, das Farbigkeit, Kreative Künste, Dreieck, Design enthält.

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Abb. 5: Kuboktaeder

5.2 Zweite Lösung

Der Autor war zunächst der Meinung, das Kuboktaeder sei die einzige Lösung unseres Problems. Es gibt aber noch weitere Lösungen. Dazu kommen wir wie folgt.

Wir können das Kuboktaeder wie einen Apfel entzweischneiden. Die Abbildung 6 zeigt eine Hälfte. Die Schnittfigur ist ein regelmäßiges Sechseck.

Dieses halbe Kuboktaeder ist eine zweite Lösung.

Ein Bild, das Farbigkeit, Design enthält.

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Abb. 6: Zweite Lösung: Halbes Kuboktaeder

5.3 Dritte Lösung

Nun legen wir die beiden Hälften aufeinander und verdrehen sie gegeneinander (Abb. 7). Sollte es quietschen, hilft ein Tropfen Öl.

Ein Bild, das Farbigkeit, Kreative Künste, Design enthält.

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Abb. 7: Verdrehung

Die Verdrehung geschieht innerhalb der Umkugel. Alle Eckpunkte haben ihre Bahnkurven auf der Umkugel.

Wir sehen bei jedem zweiten Zwischenhalt ein weiteres Polyeder. Dieses ist ebenfalls ein Lösung unseres Problems, also die dritte Lösung (Abb. 8, Abb. 9 und Abb. 10).

Abb. 8: Dritte Lösung

Ein Bild, das Kreis, Kugel, Symmetrie, Dom enthält.

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Abb. 9: Dritte Lösung mit Umkugel

Das Polyeder sieht etwas verständlicher aus, wenn wir sie auf ein Seitendreieck stellen, das keine Kante mit einem weiteren Dreieck gemeinsam hat (Abb. 10). Die sechseckige Drehscheibe ist jetzt horizontal.

Ein Bild, das Kreis, Symmetrie, Kugel, Dom enthält.

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