Hans Walser, [20161207]

†berlappung

1     Worum geht es?

Es wird eine unendlich gro§e FlŠche in einen begrenzten Bereich gepackt. Die Figur hat eine fraktale Struktur.

2     Aufbau des Fraktals

2.1    Quadrat als Startfigur

Wir beginnen mit einem leicht transparenten roten Quadrat der SeitenlŠnge 1. Diesem setzen wir links und rechts oben je ein blaues Quadrat an, deren SeitenlŠngen je um den Faktor  verkŸrzt sind (Abb. 1). Die beiden blauen Quadrate haben zusammen den gleichen FlŠcheninhalt wie das rote Quadrat.

Abb. 1: Erster Schritt

Den beiden blauen Quadraten setzen wir nun je zwei entsprechend verkleinerte rote Quadrate an (Abb. 2). Zwei der vier neuen Quadrate berŸhren sich.

Abb. 2: Zweiter Schritt

Die vier neuen roten Quadrate sind flŠchenmŠ§ig insgesamt gleich gro§ wie die beiden blauen zusammen und damit auch gleich gro§ wie das rote Startquadrat.

Im dritten Schritt setzen wir insgesamt acht kleine blaue Quadrate an (Abb. 3). Teilweise berŸhren sie sich. Die FlŠchensumme dieser acht kleinen blauen Quadrate entspricht dem FlŠcheninhalt des roten Startquadrates.

Abb. 3: Dritter Schritt

Im vierten Schritt erscheinen nun †berlappungen (Abb. 4). Sie sind am dunkleren Rot erkennbar.

Abb. 4: †berlappungen

Die Abbildung 5 gibt eine Idee des fertigen Fraktals. Wir haben immer mehr †berlappungen.

Abb. 5: AnnŠherung an das Fraktal

Jeder horizontale Farbstreifen hat bei MehrfachzŠhlung infolge †berlappung den gleichen FlŠcheninhalt wie das Startquadrat.

Da das Fraktal unendlich viele horizontale Farbstreifen hat, ist die GesamtflŠche unendlich. Die Figur hat aber in einem endlichen Bereich Platz.

2.2    Dreieck als Startfigur

In der Abbildung 6 ist die Startfigur ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck.

Abb. 6: Dreieck als Startfigur

Wir kšnnen die Figur zu einem Quadrat ergŠnzen (Abb. 7).

Abb. 7: ErgŠnzung zum Quadrat