Hans Walser, [20150827]

Triangulationen

Ein regelmŠ§iges oder allgemein konvexes n-Eck kann auf  Arten trianguliert werden. Dabei sind die Anzahlen die Catalan-Zahlen:

 

                                                                                                               (1)

 

Das Resultat geht auf Euler zurźck.

Die Catalan-Zahlen wachsen sehr rasch (Tab. 1).

 

Eckenzahl
n

n – 2

Anzahl
Triangulationen

 

 

Eckenzahl
n

n – 2

Anzahl
Triangulationen

3

1

1

 

 

13

11

58786

4

2

2

 

 

14

12

208012

5

3

5

 

 

15

13

742900

6

4

14

 

 

16

14

2674440

7

5

42

 

 

17

15

9694845

8

6

132

 

 

18

16

35357670

9

7

429

 

 

19

17

129644790

10

8

1430

 

 

20

18

477638700

11

9

4862

 

 

21

19

1767263190

12

10

16796

 

 

22

20

6564120420

Tab. 1: Anzahl der Triangulationen

 

Im Folgenden einige Beispiele.

Fźr ein Dreieck gibt es nur eine Triangulation, nŠmlich das Dreieck selber.

 

Abb. 1: Dreieck

 

Bei einem Viereck haben wir zwei Triangulationen.

 

Abb. 2: Viereck

 

Beim Fźnfeck gibt es fźnf Triangulationen.

 

Abb. 3: Fźnfeck

 

Beim Sechseck haben wir bereits 14 Triangulationen.

 

Abb. 4: Sechseck mit den 14 Triangulationen

 

Das Siebeneck hat 42 Triangulationen.

 

Abb. 5: Siebeneck mit den 42 Triangulationen