Hans Walser, [20130502]

Transformation

1        Worum es geht

Die Grundidee ist, die geometrischen Begriffe Punkt und Gerade so zu ersetzen, dass die TŠtigkeiten Verbinden und Schneiden vertauscht werden.

2        Die Transformationen

2.1      Der Hauptpunkt

Wir wŠhlen einen ãHauptpunktÒ O, der in den folgenden Konstruktionen eine zentrale Rolle spielt.

2.2      Kreis statt Punkt

Wir ersetzen einen beliebigen Punkt P (Abb. 1a) durch den Thaleskreis p Ÿber der Strecke OP (Abb. 1c). Wir transformieren also den Punkt P in den Kreis p.

Abb. 1: Ersetzen eines Punktes

2.3      Punkt statt Gerade

Wir ersetzen eine beliebige Gerade g (Abb. 2a) durch den Lotfu§punkt G des Lotes von O auf g (Abb. 2c). Wir transformieren die Gerade g in den Punkt G.

Abb. 2: Ersetzen einer Geraden

3        Verbinden und Schneiden

3.1      Verbinden zweier Punkte

Wir verbinden die beiden Punkte P und Q mit der Geraden g. Dazu schneiden wir die beiden zugeordneten Thaleskreise p und q (Abb. 3a). Der eine Schnittpunkt ist O. Der andere Schnittpunkt G ist der zugeordnete Punkt der Verbindungsgeraden g (Abb. 3b).

Abb. 3: Verbinden

Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaften des Thaleskreises.

3.2      Schneiden zweier Geraden

Wir zeichnen den Schnittpunk S der beiden Geraden g und h (Abb. 4a). Dazu zeichnen wir den Umkreis s des Dreieckes OGH, wobei G und H die beiden den Geraden g und h zugeordneten Punkte sind. Der Kreis s ist der dem Schnittpunkt S zugeordnete Kreis (Abb. 4b).

Abb. 4: Schneiden

Damit kšnnen wir alle SŠtze der Inzidenzgeometrie transformieren.


4        Satz von Desargues

4.1      GegenŸberstellung

Als Beispiel transformieren wir den Satz von Desargues. ZunŠchst rein sprachlich mit einer GegenŸberstellung.

Schritt

Desargues

Transformiert

1

Punkt S zeichnen

Kreis s durch O zeichnen

2

Drei Geraden a, b, c durch S

Drei Punkte A, B, C  auf s

3

Punkte A1, A2 auf a

Punkte B1, B2 auf b

Punkte C1, C2 auf c

Kreise a1, a2 durch A und O

Kreise b1, b2 durch B und O

Kreise c1, c2 durch C und O

4

a1 = B1C1

b1 = C1A1

c1 = A1B1

A1, O Schnittpunkte von b1, c1

B1, O Schnittpunkte von c1, a1

C1, O Schnittpunkte von a1, b1

5

a2 = B2C2

b2 = C2A2

c2 = A2B2

A2, O Schnittpunkte von b2, c2

B2, O Schnittpunkte von c2, a2

C2, O Schnittpunkte von a2, b2

6

Schnittpunkt von a1, a2

Schnittpunkt von b1, b2

Schnittpunkt von c1, c2

a¡ Kreis durch O, A1, A2

b¡ Kreis durch O, B1, B2

c¡ Kreis durch O, C1, C2

7

A¡, B¡, C¡ kollinear auf t

O, T Schnittpunkte von a¡, b¡, c¡

 


4.2      Schrittweise Konstruktion der Transformierten

ZunŠchst wŠhlen wir den Hauptpunkt O.

4.2.1    Schritt 1

Wir zeichnen einen beliebigen schwarzen Kreis s durch den Hauptpunkt O.

Abb. 5.1: Schwarzer Kreis durch den Hauptpunkt


4.2.2    Schritt 2

Wir wŠhlen drei Punkte A, B, C  auf dem Kreis s.

Abb. 5.2: Drei Punkte auf dem schwarzen Kreis


4.2.3    Schritt 3

Wir zeichnen je zwei beliebige Kreise a1, a2 durch A und O, dann b1, b2 durch B und O und schlie§lich c1, c2 durch C und O. Der erste Kreis ist jeweils blau, der zweite violett gezeichnet.

Abb. 5.3: Drei blaue und drei violette Kreise


4.2.4    Schritt 4

Wir zeichnen zusŠtzlich zu O folgende Schnittpunkte: A1 zweiter Schnittpunkt von b1, c1, B1 zweiter Schnittpunkt von c1, a1 und C1 zweiter Schnittpunkt von a1, b1. Die Schnittpunkte sind blau gezeichnet.

Abb. 5.4: Drei blaue Schnittpunkte


4.2.5    Schritt 5

Wir zeichnen zusŠtzlich zu O folgende Schnittpunkte: A2 zweiter Schnittpunkt von b2, c2, B2 zweiter Schnittpunkt von c2, a2 und C2 zweiter Schnittpunkt von a2, b2. Diese Schnittpunkte sind violett gezeichnet.

Abb. 5.5: Drei violette Schnittpunkte


4.2.6    Schritt 6

Wir zeichnen den Kreis a¡ durch O, A1, A2, den Kreis b¡ durch O, B1, B2 und den Kreis c¡ durch O, C1, C2.

Abb. 5.6: Drei rote Kreise


4.2.7    Schritt 7

Die drei Kreise a¡, b¡, c¡ haben neben O noch einen zweiten gemeinsamen Schnittpunkt. In der Abbildung 5.7 ist er mit T bezeichnet.

Abb. 5.7: Zwei gemeinsame Schnittpunkte

4.3      Beweis und Bemerkung

Der Beweis der Schnittpunkteigenschaft ergibt sich aus dem Beweis des Satzes von Desargues.

Alle neun Kreise der Abbildung 5.7 verlaufen durch den Hauptpunkt O. Wenn wir an einem Kreis mit dem Zentrum O spiegeln, werden diese neun Kreise zu neun Geraden, und wir erhalten die Figur von Desargues (in dualer Form) zurŸck. Unsere Transformation ist also lediglich eine Kreisspiegelung, zusammen mit der in der projektiven Geometrie Ÿblichen Vertauschung von Punkt – Gerade sowie Verbinden – Schneiden.


5        Punktmengen

Nachdem wir einen beliebigen Punkt P durch den Thaleskreis p Ÿber der Strecke OP ersetzen (Abb. 1), kšnnen wir eine ganze Punktmenge entsprechend transformieren.

5.1      Drei Punkte

Drei Punkte A, B, C werden in drei Kreise a, b, c transformiert, die sich paarweise auf den (verlŠngerten) Seiten des Dreiecks ABC schneiden (Abb. 6).

Abb. 6: Transformation dreier Punkte


5.2      Gerade

Die Punkte einer Geraden g werden transformiert zu einem KreisbŸschel (Abb. 7) durch den Hauptpunkt O und den Punkt G, zu welchem die Gerade g transformiert wird.

Abb. 7: KreisbŸschel

Falls die Gerade durch den Hauptpunkt O verlŠuft, erhalten wir die Figur der Abbildung 8.

Abb. 8: Gerade durch Hauptpunkt


5.3      Kreis

Wir denken uns einen grŸnen Ausgangskreis und zeichnen zu jedem Kreispunkt den roten Thaleskreis Ÿber der durch den Hauptpunkt und diesen Kreispunkt gegebenen Strecke. Dabei unterscheiden wir je nachdem, ob der Hauptpunkt O im Innern, auf dem Rand oder au§erhalb des grŸnen Kreises liegt.

Wenn der Hauptpunkt O mit dem Kreiszentrum zusammenfŠllt, erhalten wir die Rosen-Figur der Abbildung 9. Der grŸne Ausgangskreis erscheint als Enveloppe der roten Thaleskreise.

Abb. 9: Rose

Bei einem exzentrischen Hauptpunkt im Kreisinnern ergibt sich die Figur der Abbildung 10.

 

Abb. 10: Exzentrischer Hauptpunkt

Liegt der Hauptpunkt auf dem Rand des grŸnen Kreises, erhalten wir als Enveloppe die Kardioide (Abb. 11) (ohne Beweis).

Abb. 11: Kardioide

Und schlie§lich noch ein Beispiel mit dem Hauptpunkt au§erhalb des grŸnen Kreises (Abb. 12).

Abb. 12: Guter Mond, du gehst so stille