Hans Walser, [20220818]

Torsion

1 Worum geht es?

Beispiel zur Torsion

2 Sechskant-Prisma

Beim Sechskant-Prisma der Abbildung 1 sind alle Kanten gleich lang. Die Seitenflächen sind also Quadrate. Das Prisma hat zwölf Eckpunkte.

Abb. 1: Sechskant-Prisma

3 Gleichseitig-rechtwinkliges Zwölfeck

Wir können die zwölf Eckpunkte zu einem geschlossenen gleichseitig-rechtwinkligen Zwölfeck verbinden (Abb. 2). Es sind alle Strecken gleich lang und alle Winkel rechte Winkel.

Abb. 2: Gleichseitig-rechtwinkliges Zwölfeck

In diesem Zwölfeck gibt es aber Strecken, welche zusammen mit der Vorgängerstrecke und der Nachfolgerstrecke in einer Ebene liegen (Abb. 3a) und Strecken, welche diese Eigenschaft nicht haben (Abb. 3b). Wir haben also unterschiedliche Streckentypen. Das Zwölfeck ist nicht vollständig regelmäßig.

Abb. 3: Verschiedene Streckentypen

4 Torsion

Die Abbildung 4 zeigt in einer kantigen Darstellung den Übergang von einem Streckentyp zum anderen. Die mittlere Strecke wird verdreht (tordiert).

Abb. 4: Torsion

Die Abbildungen 5 und 6 zeigen das Zwölfeck in der kantigen Darstellung. Die senkrechten Strecken sind verdreht, und zwar im Wechsel mit Linksdrall und Rechtsdrall. Zusammen mit den nicht verdrehten waagerechten Strecken haben wir also drei verschiedene Streckentypen.

Abb. 5: Zwölfeck mit verdrehten Strecken

Abb. 6: Zwölfeck ohne Prisma

5 Hochgestapelt

Sechskant-Prismen (Abb. 1) können wir aufeinanderstapeln.

Zudem ist das Sechskant-Prisma ein sogenannter Raumfüller (space filler). Wir können in einer ersten Lage die Prismen nach dem Bienenwabenmuster aneinanderlegen und dann weitere solche Lagen darüber stapeln.

Geht entsprechendes auch mit Figuren der Abbildungen 5 und 6? Dabei soll das Stapeln und Aneinanderlegen kantenbündig erfolgen, das heißt, an den Berührflächen soll die Struktur der Eckpunkte und der Strecken übereinstimmen.

Beim simplen Aufeinanderstapeln von zwei Exemplaren der Abb. 6 sind die Berührecken nicht kantenbündig (Abb. 7).

Abb. 7: Ecken nicht bündig

Wir können die Sache retten, indem wir das obere Exemplar um 60° drehen (Abb. 8). Aufeinanderstehende senkrechte Strecken sind nun wechselseitig verdreht.

Abb. 8: Bündiger Übergang

So können wir beliebig weiterbauen (Abb. 9).

Abb. 9: Turmgerüst

Nebeneinandersetzen geht auch nicht (Abb. 10 und 11).

Abb. 10: Kein Nebeneinander

Abb. 11: Auch so nicht

Es funktioniert hingegen, wenn wir an einer waagerechten Strecke spiegeln (Abb. 12).

Abb. 12: Spiegelung an waagerechter Strecke

Wir können an jeder der drei unteren waagerechten Strecken spiegeln (Abb. 13).

Abb. 13: Beginn einer Pyramide

In der Abbildung 14 sind die Prismen wieder eingebaut, etagenweise gefärbt.

Abb. 14: Eingebaute Prismen

Die Konstruktion lässt sich verallgemeinern (Abb. 15).

Abb. 15: Aufbau der Pyramide

Genau von oben sehen wir ein Bienenwabenmuster mit drei Farben (Abb. 16). Nebeneinanderliegende Waben sind unterschiedlich gefärbt. Jede Farbe bildet ein Dreiecksraster.

Abb. 16: Sicht von oben